Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當時，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意，代入，解對數(shù)不等式，即可求解.

（2）由題意，根據(jù)兩對數(shù)式相等，得到真數(shù)值相等，考慮真數(shù)大于0，考慮方程有兩個不等的實數(shù)根，可求解參數(shù)范圍.

（3）根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，則對恒成立，轉(zhuǎn)化成

，對任意恒成立，根據(jù)恒成立思想，即可求解.

（1）當時，，由得，

得，即，解得或，

當時，不等式的解集為或

（2）由題意得，該問題等價于

，化簡得，

即

①當時，，不合題意，舍去.

②當時，，不合題意，舍去.

③當且時，且.

由，得（且）；

由，得（且）.

依題意，若原方程由兩個不等的實數(shù)根，則（且）.

故所求的取值范圍為.

（3）易得，當時，在上單調(diào)遞減.

故函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為.

則對恒成立，

即，對任意恒成立.

因為，函數(shù)的對稱軸，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故時，有最小值，，得

故所求的取值范圍為.