【題目】若正項(xiàng)數(shù)列滿足:,則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.

1)試寫出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前項(xiàng);

2)設(shè)數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,問是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,請(qǐng)說明理由;

3)已知數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,為其前項(xiàng)的和,試證明:

【答案】1、、(答案不唯一);(2)存在,且的最小值為;(3)證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義得出,由,可得出,然后對(duì)取一個(gè)大于的值,可得出一個(gè)符合條件的“比差等數(shù)列”的前項(xiàng);

2)由題意得出,且,利用基本不等式可求出的最小值;

3)由可推出,利用數(shù)學(xué)歸納法證明,由此得出、、,然后利用同向不等式的可加性可證明出成立.

1)由于數(shù)列為“比差等數(shù)列”,則,可得.

由于數(shù)列每項(xiàng)都是正數(shù),則,可得出.

,則,.

因此,“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)可以是、(答案不唯一);

2)由(1)可知,,則

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,有最小值;

3)由題意可得.

由于雙勾函數(shù)上是增函數(shù),

,且,則,

同理可得.

猜想,當(dāng)時(shí),.

假設(shè)當(dāng)時(shí),猜想成立,即

那么當(dāng)時(shí),由于函數(shù)上是增函數(shù),

,

所以,.

由歸納原理可知,當(dāng)時(shí),.

于是有,、、、,

將上述不等式全部相加得.

因此,.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,討論函數(shù)在區(qū)間上的最值.

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【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況,采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人,其中男生560人,從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本,得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

超過1小時(shí)

不超過1小時(shí)

20

8

12

m

1)求m,n;

2)能否有95多的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過1小時(shí)與性別有關(guān)?

3)以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生,試估計(jì)6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù).

附:

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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【題目】為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果,進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

未發(fā)病

發(fā)病

總計(jì)

未注射疫苗

20

注射疫苗

30

總計(jì)

50

50

100

現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為.

(1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),的值;

(2)判斷疫苗是否有效?

(3)能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效?

(參考公式

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(題文)(2017·長(zhǎng)春市二模)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,平面,,點(diǎn),分別為中點(diǎn).

(1)求證:直線平面;

(2)求與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè) 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 已知

(1)求角

(2)若 , ,求 的面積.

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【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=(弦+2.弧田(如圖),由圓弧和其所對(duì)弦所圍成,公式中指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.

按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,弦長(zhǎng)等于9米的弧田.

1)計(jì)算弧田的實(shí)際面積;

2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))

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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為且過點(diǎn)橢圓C軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)MN(點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方).

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【題目】已知函數(shù).

1)若,判斷的奇偶性,并說明理由;

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