【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為且過(guò)點(diǎn)橢圓C與軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N(點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求△OMN面積的最大值;
(3)求證:直線AN和直線BM交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為常值.
【答案】(1)(2)(3),證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)由題可知,橢圓過(guò)點(diǎn)所以將點(diǎn)代入可得,再結(jié)合橢圓的關(guān)系式即可求解
(2)聯(lián)立橢圓和直線的方程,表示出韋達(dá)定理,再表示出弦長(zhǎng)公式,用點(diǎn)到直線距離公式表示出點(diǎn)到直線距離,進(jìn)一步化簡(jiǎn)求值即可
(3)結(jié)合(2)中的韋達(dá)定理,表示出直線與直線方程,再聯(lián)立求解即可
(1)由題可知,又橢圓過(guò)點(diǎn)所以將點(diǎn)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得,結(jié)合橢圓的關(guān)系式,可得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè),聯(lián)立方程組,
化簡(jiǎn)得,由△,
解得,由韋達(dá)定理,得,,
,點(diǎn)到直線距離,則
,令,,則
可代換為
當(dāng)時(shí),取到最大值,
(3)借用(2)中的韋達(dá)定理,直線的方程①
直線的方程②,聯(lián)立①②,
得
即直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R 且周期為1的函數(shù),在區(qū)間上, 其中集合D=,則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是____________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足:,則稱(chēng)此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.
(1)試寫(xiě)出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前項(xiàng);
(2)設(shè)數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,問(wèn)是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)已知數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,為其前項(xiàng)的和,試證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(3,3),B(4,2),且圓心C在直線上。
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)直線過(guò)點(diǎn)D(2,4),且與圓C相切,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;
(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明;
(3)求實(shí)教的范圍,使得對(duì)于區(qū)間上的任意三個(gè)實(shí)數(shù),都存在以為邊長(zhǎng)的三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】朱載堉(1536~1611),是中國(guó)明代一位杰出的音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家,他的著作《律學(xué)新說(shuō)》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制,各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等,亦稱(chēng)“十二等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音,相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等,且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)第三個(gè)音的頻率為,第七個(gè)音的頻率為,則=
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓及點(diǎn),若直線與橢圓交于點(diǎn),且( 為坐標(biāo)原點(diǎn)),橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線以、為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)
(1)求雙曲線與其漸近線的方程;
(2)是否存在斜率為2的直線與雙曲線右支相交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】作為交通重要參與者的行人,闖紅燈通行頻有發(fā)生,帶來(lái)了較大的交通安全隱患.在某十字路口,交警部門(mén)從穿越該路口的行人中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查,得到不完整的列聯(lián)表如圖所示:
年齡低于30歲 | 年齡不低于30歲 | 合計(jì) | |
闖紅燈 | 60 | 80 | |
未闖紅燈 | 80 | ||
合計(jì) | 200 |
(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為行人是否闖紅燈與年齡有關(guān).
參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
P() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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