【題目】如圖,在四棱錐中, 底面,底面是直角梯形, , , , 是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)欲證平面平面,只要證平面即可;(2)設(shè),取中點(diǎn),以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求向量與平面的法向量的夾角即可.
試題解析:
(1)證明:∵平面, 平面,
∴,
∵, ,
∴,
∴,
∴,
又,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面.
(2)解:設(shè),取中點(diǎn),以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則, , , , ,則, , ,
取,則,即為面的一個(gè)法向量.
設(shè)為面的法向量,則,即
取,則, ,則,
依題意得,取,
于是, ,設(shè)直線與平面所成角為,則,
即直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,l1,l2是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道,連結(jié)M、N兩地之間的鐵路線是圓心在l2上的一段圓。酎c(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向,且|MO|=3 km,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為4 km和5 km.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路線所在圓弧的方程;
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點(diǎn)O的距離大于4 km,并且鐵路線上任意一點(diǎn)到校址的距離不能少于km,求該校址距點(diǎn)O的最近距離.(注:校址視為一個(gè)點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等比數(shù)列{an}中,a2=6,a2+a3=24,在等差數(shù)列{bn}中,b1=a1 , b3=﹣10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于數(shù)列,定義, .
(1) 若,是否存在,使得?請(qǐng)說明理由;
(2) 若, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3) 令,求證:“為等差數(shù)列”的充要條件是“的前4項(xiàng)為等差數(shù)列,且為等差數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某漁船在漁港O的南偏東60°方向,距離漁港約160海里的B處出現(xiàn)險(xiǎn)情,此時(shí)在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機(jī)A接到漁船的求救信號(hào),海事巡邏飛機(jī)迅速將情況通知了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點(diǎn)施救.若海事巡邏飛機(jī)測(cè)得漁船B的俯角為68.20°,測(cè)得漁政船C的俯角為63.43°,且漁政船位于漁船的北偏東60°方向上.
(Ⅰ)計(jì)算漁政船C與漁港O的距離;
(Ⅱ)若漁政船以每小時(shí)25海里的速度直線行駛,能否在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)?
(參考數(shù)據(jù):sin68.20°≈0.93,tan68.20°≈2.50,shin63.43°≈0.90,tan63.43°≈2.00, ≈3.62, ≈3.61)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將圓為參數(shù))上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,得到曲線
(1)求出的普通方程;
(2)設(shè)直線: 與的交點(diǎn)為, ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于, 兩點(diǎn),其中,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),直線和曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中, 平面是的中點(diǎn), 是上的點(diǎn)且為邊上的高.
(1)證明: 平面;
(2)若,求三棱錐的體積;
(3)在線段上是否存在這樣一點(diǎn),使得平面?若存在,說出點(diǎn)的位置.
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