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【題目】定義區(qū)間的長度均為,其中

(1)若函數的定義域為值域為寫出區(qū)間長度的最大值；

(2)若關于的不等式組的解集構成的各區(qū)間長度和為6,求實數的取值范圍；

(3)已知求證:關于的不等式的解集構成的各區(qū)間的長度和為定值.

【答案】（1）；（2）；（3）定值為，證明見解析.

【解析】

（1）令求得函數的零點，令，求得定義域區(qū)間長度最大時的值.

（2）先求得不等式的解集，設不等式的解集為，根據的長度為列不等式組，由此求得的取值范圍.

（3）將原不等式轉化為分式不等式的形式，結合高次不等式的解法，求得不等式的解集，進而求得不等式解集構成的各區(qū)間的長度和為定值.

（1）令，解得，此時為函數的最小值.令，解得，.故定義域區(qū)間長度最大時，故區(qū)間的長度為.

（2）由得，解得，記.設不等式的解集為，不等式組的解集為.

設不等式等價于，所以，，由于不等式組的解集的個區(qū)間長度和為，所以不等式組，當是恒成立.

當時，不等式恒成立，得.

當時，不等式恒成立，分離常數得恒成立. 當時，為單調遞增函數，所以，所以，所以實數.

（3）原不等式可化為

①.

令，其判別式，所以有兩個不相等的實數根，設，則，根據求根公式可求得.而，.

i)當時，不等式①等價于，解得，即不等式①的解集為，區(qū)間長度為.

ii)當時，不妨設，則，，所以.此時不等式①即，解得或，即不等式①的解集為，區(qū)間的長度為.

綜上所述，關于的不等式的解集構成的各區(qū)間的長度和為定值.

練習冊系列答案
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【題目】已知雙曲線的中心在原點，、為左、右焦點，焦距是實軸長的倍，雙曲線過點.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）若點在雙曲線上，求證：點在以為直徑的圓上；

（3）在（2）的條件下，若直線交雙曲線于另一點，求的面積.

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【題目】為降低空氣污染，提高環(huán)境質量，政府決定對汽車尾氣進行整治.某廠家生產甲、乙兩種不同型號的汽車尾氣凈化器，為保證凈化器的質量，分別從甲、乙兩種型號的凈化器中隨機抽取100件作為樣本進行產品性能質量評估，評估綜合得分都在區(qū)間.已知評估綜合得分與產品等級如下表：

根據評估綜合得分，統(tǒng)計整理得到了甲型號的樣本頻數分布表和乙型號的樣本頻率分布直方圖（圖表如下）.

甲型 乙型

（Ⅰ）從廠家生產的乙型凈化器中隨機抽取一件，估計這件產品為二級品的概率；

（Ⅱ）從廠家生產的乙型凈化器中隨機抽取3件，設隨機變量為其中二級品的個數，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）根據圖表數據，請自定標準，對甲、乙兩種型號汽車尾氣凈化器的優(yōu)劣情況進行比較.

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【題目】已知橢圓： 的左，右焦點分別為，且與短軸的一個端點Q構成一個等腰直角三角形，點P（）在橢圓上，過點作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點

(1)求橢圓的方程

(2)求證：直線MN過定點R（）

(3)求面積的最大值

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【題目】已知為定義在實數集上的函數，把方程稱為函數的特征方程，特征方程的兩個實根、（），稱為的特征根.

（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；

（2）已知為給定實數，求的表達式；

（3）把函數，的最大值記作，最小值記作，研究函數，的單調性，令，若恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知數列與滿足.

（1）若，求數列的通項公式；

（2）若且數列為公比不為1的等比數列，求q的值，使數列也是等比數列；

（3）若且，數列有最大值M與最小值，求的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為，其中為參數，.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線的極坐標方程為.

（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點.求點到直線的距離的最大值.

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【題目】在四棱錐P—ABCD中，PAB為正三角形，四邊形ABCD為炬形，平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD，M，N分別為PB，PC中點.

（1）求證:MN//平面PAD;

（2）求二面角B—AM—C的大�。�

（3）在BC上是否存在點E，使得EN⊥平面AMV?若存在，求的值:若不存在，請說明理由.

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【題目】下列判斷正確的是（ ）

A.“”是“”的充分不必要條件

B.命題“若則”的逆否命題為真

C.命題“，”的否定是“，”

D.若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“”為真命題

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