【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，.在以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點.求點到直線的距離的最大值.

【答案】（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為；（2）.

【解析】

（1）由，，可將直線的方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得其普通方程；

（2）設(shè)，，由條件可得，再由到直線的距離求出最大值即可．

解：（1）直線的極坐標(biāo)方程為，即.

由，可得直線的直角坐標(biāo)方程為，

將曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，

得曲線的普通方程為；

（2）設(shè)，

點的極坐標(biāo),化為直角坐標(biāo)為，

則，

點到直線的距離，

當(dāng)，即時等號成立.

點到直線的距離的最大值為.

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【題目】某地要建造一個邊長為2（單位：）的正方形市民休閑公園，將其中的區(qū)域開挖成一個池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點的坐標(biāo)為，曲線是函數(shù)圖像的一部分，過邊上一點在區(qū)域內(nèi)作一次函數(shù)（）的圖像，與線段交于點（點不與點重合），且線段與曲線有且只有一個公共點，四邊形為綠化風(fēng)景區(qū).

（1）求證：；

（2）設(shè)點的橫坐標(biāo)為，

①用表示、兩點的坐標(biāo)；

②將四邊形的面積表示成關(guān)于的函數(shù)，并求的最大值.

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（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬只）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.

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【題目】定義區(qū)間的長度均為,其中

(1)若函數(shù)的定義域為值域為寫出區(qū)間長度的最大值；

(2)若關(guān)于的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實數(shù)的取值范圍；

(3)已知求證:關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為定值.

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【題目】省環(huán)保廳對、、三個城市同時進行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測，測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個，三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示：

城

城

城

優(yōu)（個）

28

良（個）

32

30

已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機抽取一個，恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

（1）現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法，從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進行后續(xù)分析，求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù)；

（2）已知， ，求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.

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【題目】已知是數(shù)列的前項和，對任意，都有；

（1）若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求此時數(shù)列的通項公式；

（2）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求此時數(shù)列的通項公式；

（3）設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，線段的垂直平分線為.

①求的面積的最大值；

②軌跡上是否存在除、外的兩點、關(guān)于直線對稱，請說明理由.

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【題目】下列說法正確的個數(shù)是（ ）

①命題“若，則，中至少有一個不小于2”的逆命題是真命題

②命題“設(shè)，若，則或”是一個真命題

③“的否定是“”

④已知，都是實數(shù)，“”是“”的充分不必要條件

A.1B.2C.3D.4

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