Question

【題目】如圖，已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的上方，線段的垂直平分線為.

①求的面積的最大值；

②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到動點(diǎn)的軌跡是橢圓，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可得出軌跡方程；

（2）①根據(jù)橢圓的特征，得到為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的高最大，進(jìn)而可求出結(jié)果；

②當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，即可得出存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱；當(dāng)與不垂直時(shí)，假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)、，設(shè)，， ，的中點(diǎn)為，，根據(jù)推出，同理得到，得到，結(jié)合條件推出矛盾，即可得出結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，

所以動點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，以為長軸的橢圓；

以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

因此，動點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）①由題意，，當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的高最大，此時(shí)面積最大；

所以的面積的最大值為；

②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線為軸，根據(jù)橢圓的對稱性可得：存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，

當(dāng)與不垂直時(shí)，假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)、，

設(shè)，， ，的中點(diǎn)為，，

由，在橢圓上，

則，兩式作差得：，

所以，即；

同理，，

因?yàn)橹本�為線段，的垂直平分線，所以，

即三點(diǎn)共線，這與與不垂直矛盾，因此假設(shè)不成立，

所以與不垂直時(shí)，不存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱.