【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PB⊥平面ABCDABBC,ADBC,AD2BC2ABBCPB,點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn).

1)求證:CE∥平面PAB;

2)求證:AD⊥平面PAB;

3)求二面角EACD的余弦值.

【答案】1)證明見解析(2)證明見解析(3

【解析】

1)取PA中點(diǎn)F,連接EFBF,因?yàn)?/span>EPD中點(diǎn),FPA中點(diǎn),證明四邊形BCEF為平行四邊形,得到CEBF,然后證明CE∥平面PAB.

2)證明PBAD,ADAB,然后證明AD⊥平面PAB.

3)以B為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,求出平面ACD的一個(gè)法向量,平面ACE的一個(gè)法向量,結(jié)合二面角EACD為銳角,通過空間向量的數(shù)量積求解二面角EACD的余弦值即可.

證明:(1)取PA中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)?/span>EPD中點(diǎn),FPA中點(diǎn),

所以EFAD,且

又因?yàn)?/span>BCAD,且

所以EFBC,且EFBC

所以四邊形BCEF為平行四邊形,

所以CEBF,

因?yàn)?/span>CE平面PAB,BF平面PAB

所以CE∥平面PAB.

2)因?yàn)?/span>PB⊥平面ABCD,AD平面ABCD

所以PBAD

又因?yàn)?/span>ABBC,ADBC

所以ADAB,

ABPBB,ABPB平面PAB

所以AD⊥平面PAB.

3)因?yàn)?/span>PB⊥平面ABCD,ABBC平面ABCD

所以PBABPBBC,又ABBC,

B為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz

所以

已知平面ACD的一個(gè)法向量;

設(shè)平面ACE的法向量

,即,

x1,則y1,z=﹣1;

所以平面ACE的一個(gè)法向量為

所以

由圖可知二面角EACD為銳角,

所以二面角EACD的余弦值為.

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