【題目】設是大于1的自然數(shù),找出所有自然數(shù),使得對于存在互質(zhì)的自然數(shù)、,滿足.
【答案】
【解析】
先證明一個引理.
引理 設、、、、,且滿足.若是大于1的奇數(shù), 是奇質(zhì)數(shù),則可以表示成的以自然數(shù)為指數(shù)的冪.
引理的證明:設為、的最大公約數(shù),可設.由已知條件有.
因此,存在某個非負整數(shù),滿足.
由于是奇數(shù),故有.
用表示等式右端的數(shù).由于,所以,與中至少有一個大于1.而,因此,.由式①推出.
因為且,所以,它們都能被整除,且存在某個自然數(shù),使得.這樣,
(是某個整數(shù)).
因為,且,于是.
設,則,即.
如果,同上面證明一樣,可以證明可被整除.如果,則;這樣重復下去,便可推出,存在某個自然數(shù),有.
下面證明本題的結(jié)論:的可能值只有2.
設,其中,不妨設.由于,,顯然且.討論如下:
(1)若是偶數(shù),則.
于是,不是3的整數(shù)次冪,矛盾.
(2)若是奇數(shù),且,則.于是,.以下證明.
由引理知.取,代入后,可以認為.于是,,即證明.
由于,則.
因此,.
于是,得證.
由,推出.
而且. ②
如果②中至少有一個不等號是嚴格不等號,那么,.由推出矛盾.可見,.
那么,,且.故是惟一滿足條件的值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)需要設計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫的容積是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列事件:①任取這三條線段,這三條線段恰好組成直角三角形;②從一個三角形的三個頂點各任畫一條射線,這三條射線交于一點;③實數(shù),都不為,但;④明年12月28日的最高氣溫高于今年12月28日的最高氣溫.其中為隨機事件的是( )
A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個的方格表的每個方格內(nèi)填入1或,如果任意一格內(nèi)的數(shù)都等于與它有公共邊的那些方格內(nèi)所填數(shù)的乘積,則稱這種填法是“成功”的.求“成功”填法的總數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若存在,使成立, 則稱點為函數(shù)的不動點.
(1)若函數(shù)有不動點和, 求的值 ;
(2)若對于任意實數(shù),函數(shù)總有 2 個相異的不動點 , 求實數(shù)的取值范圍;
(3)若定義在實數(shù)集 R 上的奇函數(shù)存在(有限的)個不動點 , 求證:必為奇數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點,
(1)求證: AC1//平面CDB1;
(2)求二面角C1-AB-C的平面角的正切值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓的方程為,點為坐標原點,點,的坐標分別為,,,直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓于,兩點,交軸于點,問是否存在實數(shù)使得以為直徑的圓恒過點?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com