Question

已知函數(shù)f(x)=

3

x

，x∈[3，7]
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用定義法證明；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）任取3≤x₁＜x₂≤7，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案；
（2）根據(jù)（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，將區(qū)間端點(diǎn)的值代入即可求出最大值和最小值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）區(qū)間[3，7]上單調(diào)遞減．
任取x₁，x₂∈[3，7]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

3

x1

-

3

x2

=

3(x2-x1)

x1x2

，
∵3≤x₁＜x₂≤7，∴x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴由單調(diào)性的定義知，函數(shù)f（x）區(qū)間[3，7]上單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）區(qū)間[3，7]上單調(diào)遞減，
∴[f（x）]_min=f（7）=

3

7

，[f（x）]_max=f（3）=1．
∴函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為1，

3

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)的最值，同時還考查了學(xué)生的變形，轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．