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【題目】如圖①，是以為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，如圖②，將沿折起使平面平面分別為的中點，點在棱上，且，點在棱上，且.

（1）在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

（2）求點到平面的距離.

【答案】（1）存在點滿足題意，；（2）

【解析】

（1）存在點，滿足題意，取的中點，連接為中點，可得，可證平面，再由已知可得，得到，有平面，即可證明結論；

（2）因為平面平面，可證平面，

平面，從而有，求出面積，根據，即可求出結論.

（1）存在點滿足題意，，

證明如下：如圖，取的中點，連接，

因為，，所以.

又平面，平面，

所以平面.

因為，所以，

所以，

又所以，所以.

又平面，平面，所以平面.

因為，所以平面平面.

所以

（2）如圖，連接.因為平面平面，，

平面平面，所以平面.

又平面，所以.

同理，平面，

所以，

.

由題得，設點到平面的距離為,

由，得，

所以，

即點到平面的距離為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）

如圖，已知拋物線，過點任作一直線與相交于兩點，過點作軸的平行線與直線相交于點（為坐標原點）.

(1)證明：動點在定直線上；

(2)作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點，與（1）中的定直線相交于點，證明：為定值，并求此定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線的焦點，過的動直線交拋物線于，兩點．當直線與軸垂直時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點，拋物線上存在點使得直線，，的斜率成等差數列，求點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度（單位：），經統(tǒng)計，其高度均在區(qū)間內，將其按分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為及以上的樹苗為優(yōu)質樹苗．

試驗區(qū)

試驗區(qū)

合計

優(yōu)質樹苗

20

非優(yōu)質樹苗

60

合計

（1）求圖中的值，并估計這批樹苗高度的中位數和平均數（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于，兩個試驗區(qū)，部分數據如上列聯(lián)表：將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為優(yōu)質樹苗與，兩個試驗區(qū)有關系，并說明理由．

參考數據：

0.15

0．10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】將函數的圖像向左平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像則下面對函數的敘述不正確的是（ ）

A.函數的周期

B.函數的一個對稱中心

C.函數在區(qū)間內單調遞增

D.當，時，函數有最小值

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，過濾由核心部件濾芯來實現.在使用過程中，濾芯需要不定期更換，其中濾芯每個200元.如圖是根據100臺該款凈水器在十年使用期內更換的濾芯的件數制成的柱狀圖.（以100臺凈水器更換濾芯的頻率代替1臺凈水器更換濾芯發(fā)生的概率）

（1）估計一臺凈水器在使用期內更換濾芯的件數的眾數和中位數.

（2）估計一臺凈水器在使用期內更換濾芯的件數大于10的概率.

（3）已知上述100臺凈水器在購機的同時購買濾芯享受5折優(yōu)惠（使用過程中如需再購買無優(yōu)惠），假設每臺凈水器在購機的同時購買濾芯10個，這100臺凈水器在使用期內，更換濾芯的件數記為a，所需費用記為y，補全下表，估計這100臺凈水器在使用期內購買濾芯所需總費用的平均數.

100臺該款凈水器在試用期內更換濾芯的件數a

9

10

11

12

頻數

費用y

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在全球關注的抗擊“新冠肺炎”中，某跨國科研中心的一個團隊，研制了甲、乙兩種治療“新冠肺炎”新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗，試驗方案如下：

第一種：選取共10只患病白鼠，服用甲藥后某項指標分別為：；

第二種：選取共10只患病白鼠，服用乙藥后某項指標分別為：；

該團隊判定患病白鼠服藥后這項指標不低于85的確認為藥物有效，否則確認為藥物無效.

（1）已知第一種試驗方案的10個數據的平均數為89，求這組數據的方差；

（2）現需要從已服用乙藥的10只白鼠中隨機抽取7只，記其中服藥有效的只數為，求的分布列與期望；

（3）該團隊的另一實驗室有1000只白鼠，其中900只為正常白鼠，100只為患病白鼠，每用新研制的甲藥給所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有變?yōu)檎０资�，但正常白鼠仍�?/span>變?yōu)榛疾“资�，假設實驗室的所有白鼠都活著且數量不變，且記服用次甲藥后此實驗室正常白鼠的只數為.

（i）求并寫出與的關系式；

（ii）要使服用甲藥兩次后，該實驗室正常白鼠至少有950只，求最大的正整數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設中點分別為．

(1) 求橢圓的標準方程；

(2)求以為頂點的四邊形的面積的取值范圍；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某面包推出一款新面包，每個面包的成本價為4元，售價為10元，該款面包當天只出一爐（一爐至少15個，至多30個），當天如果沒有售完，剩余的面包以每個2元的價格處理掉，為了確定這一爐面包的個數，該店記錄了這款新面包最近30天的日需求量（單位：個），整理得下表：

（1）根據表中數據可知，頻數與日需求量（單位：個）線性相關，求關于的線性回歸方程；

（2）以30天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率，若該店這款新面包出爐的個數為24，記當日這款新面包獲得的總利潤為（單位：元）.

（�。┤羧招枨罅繛�15個，求；

（ⅱ）求的分布列及其數學期望.

相關公式： ，

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