【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C上的點到點的距離與它到直線的距離之比為，圓O的方程為，曲線C與x軸的正半軸的交點為A，過原點O且異于坐標軸的直線與曲線C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中，設(shè)直線AB，AC的斜率分別為；

（1）求曲線C的方程，并證明到點M的距離；

（2）求的值；

（3）記直線PQ，BC的斜率分別為、，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值，若不存在，說明理由.

【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）存在；；

【解析】

（1）利用兩點間距離公式和點到直線的距離公式列出方程，從而求出曲線的方程，并能證明到點的距離；（2）設(shè)，則，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可得到所求值；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，求得點坐標，再求出直線和直線的斜率，從而得到的值.

（1）曲線上的點到點的距離

與它到直線的距離之比為，

所以可得，

整理得曲線的方程為：，

而是橢圓的右焦點，是橢圓上的點，

所以到點的距離.

（2）設(shè)，則，

所以，

所以

.

（3）聯(lián)立，得到，

所以，其中，

所以，，

聯(lián)立，得到，

所以，其中，

所以，，

所以，，

所以，

所以存在常數(shù)，使得.

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【題目】已知，為兩非零有理數(shù)列（即對任意的，均為有理數(shù)），為一無理數(shù)列（即對任意的，為無理數(shù)）．

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（2）若為有理數(shù)列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為．

（3）已知，，對任意的，恒成立，試計算．

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【題目】設(shè)直線與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點，直線，，，（為坐標原點）的斜率分別為，，，，若.

（1）是否存在實數(shù)，滿足，并說明理由；

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個極值點恰為函數(shù)的兩個零點，且的范圍是，求實數(shù)a的取值范圍.

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