Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）設，且，求證:.

Answer 1

【答案】（1）討論見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及函數(shù)的導數(shù)，然后根據的正負性進行分類討論，求出函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，求出函數(shù)的導數(shù)，可以確定的單調性，設，可以證明出，根據，可以證明出，根據同角的三角函數(shù)關系式可以得到，最后根據余弦函數(shù)的單調性進行證明即可.

（1）的定義域為，，

當時，恒成立，在上單調遞減；

當時，由解得，由解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）當時，，，則在上單調遞增.設，且，則，即，所以，可得.因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，所以.綜上可得，，且，即.