【題目】如圖所示,已知橢圓 過點,離心率為,左、右焦點分別為、,點為直線上且不在軸上的任意一點,直線與橢圓的交點分別為、為坐標(biāo)原點.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)直線的斜線分別為、.

i)證明:;

ii)問直線上是否存在點,使得直線、、的斜率、、滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】1 ;(2)(i)見解析;(ii

【解析】

(1)利用橢圓過已知點和離心率,聯(lián)立方程求得a和b,則橢圓的方程可得;

(2)(i)把直線PF1、PF2的方程聯(lián)立求得交點的坐標(biāo),代入直線x+y=2上,整理得

(ii)設(shè)出A,B,C,D的坐標(biāo),聯(lián)立直線PF1和橢圓的方程根據(jù)韋達(dá)定理表示出xA+xB和xAxB,進(jìn)而可求得直線OA,OB斜率的和與CO,OD斜率的和,由kOA+kOB+kOC+kOD=0推斷出k1+k2=0或k1k2=1,分別討論求得p.

(1)∵橢圓過點,∴,故所求橢圓方程為

(2)(i)由于F1(﹣1,0)、F2(1,0),PF1,PF2的斜率分別是k1,k2,且點P不在x軸上,

所以k1≠k2,k1≠0,k2≠0.又直線PF1、PF2的方程分別為y=k1(x+1),y=k2(x﹣1),

聯(lián)立方程解得,所以,由于點P在直線x+y=2上,

所以,故

(ii)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),聯(lián)立直線PF1和橢圓的方程得,化簡得(2k12+1)x2+4k12x+2k12﹣2=0,

因此,所以,

同理可得:,故由kOA+kOB+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1,

當(dāng)k1+k2=0時,由(1)的結(jié)論可得k2=﹣2,解得P點的坐標(biāo)為(0,2)

當(dāng)k1k2=1時,由(1)的結(jié)論可得k2=3或k2=﹣1(舍去),

此時直線CD的方程為y=3(x﹣1)與x+y=2聯(lián)立得x=,所以,

綜上所述,滿足條件的點P的坐標(biāo)分別為,P(0,2).

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其中正確的序號是_________.

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