【題目】已知函數(shù)(),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間;
(2)試比較與的大小,并說明理由;
(3)求證:
【答案】(1)a=0,增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2);(3)詳見解析.
【解析】
(1)由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù),再由切線的方程得f′(1)=1,列出方程求出a的值,代入函數(shù)解析式和導(dǎo)數(shù),分別求出f′(x)>0、f′(x)<0對應(yīng)的x的范圍,即求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性得:>,由對數(shù)的運(yùn)算律、單調(diào)性化簡即可;
(3).
解:(1)依題意,,
所以,又由切線方程可得,
即,解得,
此時,,
令,所以,解得;
令,所以,解得,
所以的增區(qū)間為:,減區(qū)間為:.
(2) 由(1)知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以 ,
,
,
(3)
,
,
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邊長為1的正三角形,、分別是邊、上的點(diǎn),若,,其中,設(shè)的中點(diǎn)為,中點(diǎn)為.
(1)若、、三點(diǎn)共線,求證:;
(2)若,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示.過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即時間t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當(dāng)t=4時,求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中a,.
(1)當(dāng),時,求函數(shù)的零點(diǎn);
(2)當(dāng)時,解關(guān)于x的不等式;
(3)如果函數(shù)的圖象恒在直線的上方,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn),市民的出行也越來越便利,根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計,某條地鐵線路運(yùn)行時,發(fā)車時間間隔(單位:分鐘)滿足: ,平均每班地鐵的載客人數(shù) (單位:人)與發(fā)車時間間隔近似地滿足函數(shù)關(guān)系:,
(1)若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過1560人,試求發(fā)車時間間隔的取值范圍;
(2)若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為(單位:元),則當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時,平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大?并求出最大凈收益.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設(shè)AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某果農(nóng)從經(jīng)過篩選(每個水果的大小最小不低于50克,最大不超過100克)的10000個水果中抽取出100個樣本進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下頻率分布表:
級別 | 大小(克) | 頻數(shù) | 頻率 |
一級果 | 5 | 0.05 | |
二級果 | |||
三級果 | 35 | ||
四級果 | 30 | ||
五級果 | 20 | ||
合計 | 100 |
請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解得下列問題:
(1)求的值,并完成頻率分布直方圖;
(2)若從四級果,五級果中按分層抽樣的方法抽取5個水果,并從中選出2個作為展品,求2個展品中僅有1個是四級果的概率;
(3)若將水果作分級銷售,預(yù)計銷售的價格元/個與每個水果的大小克關(guān)系是:,則預(yù)計10000個水果可收入多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知橢圓 過點(diǎn),離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn),直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線、的斜線分別為、.
(i)證明:;
(ii)問直線上是否存在點(diǎn),使得直線、、、的斜率、、、滿足?若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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