Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A(0，

2

)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線l經過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據兩條漸近線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，可得雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．利用雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)，可得a²=1，從而可求雙曲線C的方程．
（2）直線與雙曲線方程聯立消去y，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而根據直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根求得m的范圍，表示出AB中點的坐標，進而表示出直線l的方程，令x=0求得b關于k的表達式，根據m的范圍求得b的范圍．

解答：解：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0
∵該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．故設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)，∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為：x²-y²=1．
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
∵直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0且 -2 1-m2 ＞0

，解得1＜m＜

2

．又AB中點為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直線l的方程為：y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)，
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點評：本題以直線與圓的位置關系為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系解題的關鍵是將直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根，從而確定m的范圍．用m表示b的過程即是建立目標函數的過程，本題要注意k的取值范圍．