(2012•淮南二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點(diǎn),且橢C的離心e=
1
2
,又A,B為橢圓的左右頂點(diǎn),M為橢圓上任一點(diǎn)(異于A,B).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直MA交直x=4于點(diǎn)P,過P作直線MB的垂線x軸于點(diǎn)Q,Q的坐標(biāo);
(3)求點(diǎn)P在直線MB上射R的軌跡方程.
分析:(1)先確定雙曲線中c的值,再利用橢圓的離心率,即可確定橢圓的方程;
(2)設(shè)M(x,y),P(4,z),則可得z=
6y
x+2
,利用PQ⊥MB及M在橢圓上,即可求Q的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H,由QH⊥HB得△HQB為直角三角形,從而可求H點(diǎn)的軌跡方程.
解答:解:(1)由題意知,雙曲線4x2-
4
3
y2=1,∴c=1,
∵橢圓的離心率為e=
1
2
,∴a=2,
∴b2=a2-c2=3
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
           (3分)
(2)設(shè)M(x,y),P(4,z),則
MN
PD
=
AN
AD
,得
y
z
=
x+2
6
,故z=
6y
x+2

設(shè)Q(x0,0),由PQ⊥MB得:
6y
x+2
4-x0
×
y
x-2
=-1
,
又M在橢圓上,故x2=4-
4
3
y2
,化簡得x0=-
1
2
,即Q(-
1
2
,0)(8分)
(3)點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H,由QH⊥HB得△HQB為直角三角形,
設(shè)E為QB中點(diǎn),則|HE|=
1
2
|QB|=
5
4
,E(
3
4
,0),
因此H點(diǎn)的軌跡方程為(x-
3
4
)2+y2=
25
16
(y≠0)
(13分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查軌跡方程,解題的關(guān)鍵是確定橢圓中的幾何量,利用垂直關(guān)系,建立等式,屬于中檔題.
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1+i
1-i
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x+1,(-1≤x≤0)
1-x2
,(0<x≤1)
,則
1
-1
f(x)dx
=(  )

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