【題目】已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)Pm,4)到其準(zhǔn)線的距離等于5.

(1)求拋物線G的方程;

(2)如圖,過拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明|AC||BD|為定值;

(3)過A、B分別作拋物G的切線l1,l2l1l2交于點(diǎn)M,試求△ACM與△BDM面積之和的最小值.

【答案】(1)x2=4y;(2)詳見解析;(3)2.

【解析】

1)利用拋物線的焦半徑公式求P;(2設(shè)直線ABykx+1,與拋物線聯(lián)立消去,結(jié)合焦半徑公式化簡(jiǎn)從而得到定值;(3)欲求面積之和的最小值,利用直線AB的斜率作為自變量,建立函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.

(1)由題知,拋物線的準(zhǔn)線方程為y+1=0,故1

所以拋物線C的方程為x2=4y

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),

故直線AB的斜率一定存在,

設(shè)直線ABykx+1交拋物線C于點(diǎn)Ax1y1),Bx2y2),

由拋物線定義知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,

所以|AC|=y1,|BD|=y2,

x2﹣4kx﹣4=0,

顯然△>0,則x1+x2=4k,x1x2=﹣4,

所以y1y21,所以|AC||BD|為定值1.

(3)由x2=4yyx2, x,

得直線AM方程yx1xx1)(1),

直線BM方程yx2xx2)(2),

由(2)﹣(1)得x1x2x

所以xx1+x2)=2k,∴y=﹣1

所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(2k,﹣1),

點(diǎn)M到直線AB距離d2,

AB長(zhǎng)為|AB|4(1+k2),

ACM與△BDM面積之和,

S(|AB|﹣2)d(2+4k2)×22(1+2k2

當(dāng)k=0時(shí),即AB方程為y=1時(shí),△ACM與△BDM面積之和最小值為2.

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1)若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作?

2)在(1)的條件下,當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時(shí),才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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