Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）．
（1）如果對(duì)于任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若x∈[﹣ ， ]，過點(diǎn)M（ ，0）作函數(shù)f（x）的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{xn}，求數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx），

可得g（x）=f（x）﹣kx﹣excosx=exsinx﹣kx，

要使任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，

只需當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，g（x）min≥0，g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，

令h（x）=ex（sinx+cosx），則h′（x）=2excosx≥0對(duì)x∈[0， ]時(shí)恒成立，

∴h（x）在x∈[0， ]上是增函數(shù)，則h（x）∈[1，e ]，

①當(dāng)k≤1時(shí)，g′（x）≥0恒成立，g（x）在x∈[0， ]上為增函數(shù)，

∴g（x）min≥g（0）=0，∴k≤1滿足題意；

②當(dāng)1＜k＜e 時(shí)，g′（x）=0在x∈[0， ]上有實(shí)根x0，h（x）在x∈[0， ]上是增函數(shù)，

則當(dāng)x∈[0，x0）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x0）＜g（0）=0不符合題意；

③當(dāng)k≥e 時(shí)，g′（x）≤0恒成立，g（x）在x∈[0， ]上為減函數(shù)，

∴g（x）＜g（0）=0不符合題意，

∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]

（2）解：函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx），

∴f′（x）=2excosx，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，ex0（sinx0+cosx0）），

則切線斜率為f′（x0）=2ex0cosx0，

從而切線方程為y﹣ex0（sinx0+cosx0）=2ex0cosx0（x﹣x0），

∴﹣ex0（sinx0+cosx0）=2ex0cosx0（ ﹣x0），

即tanx0=2（x0﹣ ），令y1=tanx，y2=2（x﹣ ），

這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱，

則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于x= 對(duì)稱，

從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}的項(xiàng)也關(guān)于x= 成對(duì)出現(xiàn)，

又在[﹣ ， ]內(nèi)共有1008對(duì)，每對(duì)和為π，

∴數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和為1008π

【解析】（1）由題意可得任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，只需當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，g（x）min≥0，求出g′（x），令h（x）=ex（sinx+cosx），求出導(dǎo)數(shù)，可得h（x）的單調(diào)性，及值域，討論k≤1時(shí)，1＜k＜e 時(shí)，當(dāng)k≥e 時(shí)，由單調(diào)性確定最小值，即可得到所求k的范圍；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0 ， ex0（sinx0+cosx0）），可得切線的斜率和方程，代入M（ ，0），可得tanx0=2（x0﹣ ），令y1=tanx，y2=2（x﹣ ），這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱，即可得到所求數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和．