Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求曲線，的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)，在曲線上，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ( Ⅱ)

【解析】分析：（Ⅰ）把及對應(yīng)的參數(shù)，代入曲線，化簡解出即可；設(shè)圓的半徑為，由題意，圓的方程，把點(diǎn)代入，再利用互化公式化簡即可；

（Ⅱ）把兩點(diǎn)，代入曲線，化簡整理即可.

詳解：（Ⅰ）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入，

得解得

曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

設(shè)圓的半徑為，由題意，圓的方程，即.

將點(diǎn)代入，得，即，

所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線上，

所以，，

所以 .