(1)已知函數(shù)f(x)=
ax-1ax+1
(a>0且a≠1).
(Ⅰ) 求f(x)的定義域和值域;
(Ⅱ) 討論f(x)的單調(diào)性.
(2)已知f(x)=2+log3x(x∈[1,9]),求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值與最小值.
分析:(1)(Ⅰ)易得f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R}.設(shè)y=
ax-1
ax+1
,解得ax=-
y+1
y-1
①,根據(jù)ax>0,可得當(dāng)且僅當(dāng)-
y+1
y-1
>0時(shí),方程①有解.解-
y+1
y-1
>0,求得y的范圍.
(Ⅱ)f(x)=
(ax+1-2)
ax+1
=1-
2
ax+1
,分當(dāng)a>1時(shí)和 當(dāng)0<a<1時(shí),兩種情況,分別研究函數(shù)的單調(diào)性.
(2)根據(jù) 1≤x≤9,可得 0≤log3x≤2,由此可得 4≤f2(x)≤16.再由 1≤x≤9,可得 1≤x2≤81,得 2≤f(x2)=2+log3x2≤6.由此求得函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值和最小值.
解答:(1)解:(Ⅰ)易得f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R}.設(shè)y=
ax-1
ax+1
,解得ax=-
y+1
y-1

∵ax>0當(dāng)且僅當(dāng)-
y+1
y-1
>0時(shí),方程①有解.解-
y+1
y-1
>0,求得-1<y<1.
∴f(x)的值域?yàn)閧y|-1<y<1}.
(Ⅱ)f(x)=
(ax+1-2)
ax+1
=1-
2
ax+1

1°當(dāng)a>1時(shí),∵ax+1為增函數(shù),且ax+1>0.
2
ax+1
為減函數(shù),從而f(x)=1-
2
ax+1
=
ax-1
ax+1
為增函數(shù).
2°當(dāng)0<a<1時(shí),類似地可得f(x)=
ax-1
ax+1
 為減函數(shù).
(2)解:∵1≤x≤9,可得 0≤log3x≤2,∴2≤f(x)≤4,∴4≤f2(x)≤16.
∵1≤x≤9,可得 1≤x2≤81,0≤log3x2≤4,∴2≤f(x2)=2+log3x2≤6.
故函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值為16+6=22,最小值為 4+2=6.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),分式不等式的解法,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知下列命題:(1)已知函數(shù)f(x)=x+
p
x-1
(p為常數(shù)且p>0),若f(x)在區(qū)間(1,+∞)的最小值為4,則實(shí)數(shù)p的值為
9
4
; (2)?x∈[0,
π
2
],sinx+cosx>
2
;(3)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中:a4.a(chǎn)6=8,函數(shù)f(x)=x(x+a3)(x+a5)(x+a7),則f(0)=16
2
;(4)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2-n+1,且bn=2an+1,則數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn=4n2-n+2上述命題正確的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=sin(
1
2
x+
π
4
)
,求函數(shù)在區(qū)間[-2π,2π]上的單調(diào)增區(qū)間;
(2)計(jì)算:tan70°cos10°(
3
tan20°-1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于定義在集合D上的函數(shù)y=f(x),若f(x)在D上具有單調(diào)性,且存在區(qū)間[a,b]⊆D(其中a<b),使當(dāng)x∈[a,b]時(shí),
f(x)的值域是[a,b],則稱函數(shù)f(x)是D上的正函數(shù),區(qū)間[a,b]稱為f(x)的“等域區(qū)間”.
(1)已知函數(shù)f(x)=
x
是[0,+∞)上的正函數(shù),試求f(x)的等域區(qū)間.
(2)試探究是否存在實(shí)數(shù)k,使函數(shù)g(x)=x2+k是(-∞,0)上的正函數(shù)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

問題1:已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
,則f(
1
10
)+f(
1
9
)+
+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+
…+f(9)+f(10)=
19
2
19
2

我們?nèi)舭衙恳粋(gè)函數(shù)值計(jì)算出,再求和,對(duì)函數(shù)值個(gè)數(shù)較少時(shí)是常用方法,但函數(shù)值個(gè)數(shù)較多時(shí),運(yùn)算就較繁鎖.觀察和式,我們發(fā)現(xiàn)f(
1
2
)+f(2)
、…、f(
1
9
)+f(9)
f(
1
10
)+f(10)
可一般表示為f(
1
x
)+f(x)
=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1
為定值,有此規(guī)律從而很方便求和,請(qǐng)求出上述結(jié)果,并用此方法求解下面問題:
問題2:已知函數(shù)f(x)=
1
2x+
2
,求f(-2007)+f(-2006)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2007)+f(2008)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a是實(shí)數(shù),f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)

(1)已知函數(shù)f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
是奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.
(2)試證明:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,f(x)在R上為增函數(shù).

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