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設a是實數,f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)

(1)已知函數f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
是奇函數,求實數a的值.
(2)試證明:對于任意實數a,f(x)在R上為增函數.
分析:(1)由奇函數的性質可得f(0)=0,代入數據解關于a的方程可得;
(2)設x1,x2∈R,x1<x2,作差可判f(x1)<f(x2),由單調性的定義可得.
解答:解:(1)由題意可得x∈R,函數為奇函數必有f(0)=0
代入數據可得a-
2
1+20
=0,解得a=1
(2)證明:設x1,x2∈R,x1<x2
作差可得f(x1)-f(x2)=(a-
2
2x1+1
)-(a-
2
2x2+1
)

=
2
2x2+1
-
2
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
,
由于指數函數y=2x在R上是增函數,且x1<x2
2x12x2,
2x1-2x2<0,
又由2x>0,得2x1+1>02x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴對于任意a,f(x)在R上為增函數.
點評:本題考查函數的奇偶性和單調性,涉及定義法證明函數的單調性,屬基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設a是實數,f(x)=a-
22x+1
(x∈R)

(1)當f(x)為奇函數時,求a的值;
(2)證明:對于任意a,f(x)在R上為增函數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設a是實數,f(x)=a-
22x+1
(x∈R)

(1)若函數f(x)為奇函數,求a的值;
(2)試證明:對于任意a,f(x)在R上為單調函數;
(3)若函數f(x)為奇函數,且不等式f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設a是實數,f(x)=a-
22x+1
(x∈R)
,
(1)試證明:對于任意a,f(x)在R為增函數;
(2)試確定a的值,使f(x)為奇函數.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設a是實數,f(x)=a-
2
2x+1
(x∈R)

(1)當f(x)為奇函數時,求a的值;
(2)證明:對于任意a,f(x)在R上為增函數.

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