Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求的最小值；

（2）記的最小值為，已知函數(shù)，若對于任意的，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的定義域，并利用導數(shù)研究其在定義域上的單調(diào)性，找到最小值點即可求得最小值；（2），把分子設(shè)為新函數(shù)，并用導數(shù)研究其單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞增，由于，且當時，，所以存在，使，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以必有，據(jù)此求得，分類參數(shù)即可求得參數(shù)的范圍.

試題解析：（1）由已知得．．．．．．．．．．1分

令，得；令，得，

所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

從而．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由（1）中得．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

令，則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

所以在上單調(diào)遞增，

因為，且當時，，

所以存在，使，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．．．．．8分

因為，所以，即，因為對于任意的，恒有成立，

所以．．．．．．．．．．．．9分

所以，即，亦即，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

因為，所以，

又，所以，從而，

所以，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分