【題目】已知三棱錐P－ABC的平面展開圖中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P－ABC中：

（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；

（2）若點M為棱PA上一點且，求二面角P－BC－M的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）如圖①，設AC的中點為O，連結.

由題意，得，PO=2，.

因為在△PAC中，PA=PC，O為AC的中點，所以PO⊥AC.

又因為在△POB中，PO=2，OB=2，PB=，，所以PO⊥OB.

因為AC∩OB=O，AC，OB平面ABC，所以PO⊥平面ABC.

又因為PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.

（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，所以.

于是以OC、OB、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖②所示的空間直角坐標系，

則，，

，.

設平面MBC的法向量為，則由得，

令，則，即.

設平面PBC的法向量為，由得，

令x2=1，則，即.

.

由圖可知，二面角P－BC－M的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】雙十一購物狂歡節(jié)，是指每年11月11日的網(wǎng)絡促銷日，源于淘寶商城(天貓)2009年11月11日舉辦的網(wǎng)絡促銷活動，已成為中國電子商務行業(yè)的年度盛事.某生產(chǎn)商為了了解其生產(chǎn)的產(chǎn)品在不同電商平臺的銷售情況，統(tǒng)計了兩個電商平臺各十個網(wǎng)絡銷售店鋪的銷售數(shù)據(jù)：

電商平臺

64

71

81

70

79

69

82

73

75

60

電商平臺

60

80

97

77

96

87

76

83

94

96

（1）作出兩個電商平臺銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖，根據(jù)莖葉圖判斷哪個電商平臺的銷售更好，并說明理由；

（2）填寫下面關于店鋪個數(shù)的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為銷售量與電商平臺有關；

銷售量

銷售量

總計

電商平臺

電商平臺

總計

（3）生產(chǎn)商要從這20個網(wǎng)絡銷售店鋪銷售量前五名的店鋪中，隨機抽取三個店鋪進行銷售返利，則其中恰好有兩個店鋪的銷售量在95以上的概率是多少？

附：，.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，平面，，.以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.

（1）求證：平面；

（2）若二面角為45°，

①證明：平面平面；

②求直線與平面所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形是邊長為的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求異面直線和所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以直角坐標系的點為極點，為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，得曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的傾斜角；

（2）若直線與曲線交于，兩點，求的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式：

方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試

方式二：周六一天培訓4小時，周日測試

公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如表：

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進行培訓，分別估計員工受訓的平均時間精確到，并據(jù)此判斷哪種培訓方式效率更高？

在甲乙兩組中，從第三周培訓后達標的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人來自甲組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過的直線與拋物線C交于兩點，點A在第一象限，拋物線C在兩點處的切線相互垂直.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）若點P為拋物線C上異于的點，直線均不與軸平行，且直線AP和BP交拋物線C的準線分別于兩點，.

（i）求直線的斜率；

（ⅱ）求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小芳、小明兩人各拿兩顆質地均勻的骰子做游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為4的倍數(shù)，則由原投擲人繼續(xù)投擲；若擲出的點數(shù)之和不是4的倍數(shù)，則由對方接著投擲．

（1）規(guī)定第1次從小明開始．

（ⅰ）求前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率；

（ⅱ）設游戲的前4次中，小芳投擲的次數(shù)為，求隨機變量的分布列與期望．

（2）若第1次從小芳開始，求第次由小芳投擲的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.

設等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，________，，若對于任意都有，且(為常數(shù))，求正整數(shù)的值.

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