【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C1 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 離心率為e1;雙曲線C2 =1的左、右焦點(diǎn)分別為F3 , F4 , 離心率為e2 , 已知e1e2= ,且|F2F4|= ﹣1.

(1)求C1、C2的方程;
(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點(diǎn),當(dāng)直線OM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時(shí),求四邊形APBQ面積的最小值.

【答案】
(1)解:由題意可知, ,且

∵e1e2= ,且|F2F4|= ﹣1.

,且

解得:

∴橢圓C1的方程為 ,雙曲線C2的方程為 ;


(2)解:由(1)可得F1(﹣1,0).

∵直線AB不垂直于y軸,

∴設(shè)AB的方程為x=ny﹣1,

聯(lián)立 ,得(n2+2)y2﹣2ny﹣1=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

,

= =

∵M(jìn)在直線AB上,

直線PQ的方程為 ,

聯(lián)立 ,得

解得 ,代入

由2﹣n2>0,得﹣ <n<

∴P,Q的坐標(biāo)分別為 ,

則P,Q到AB的距離分別為: ,

∵P,Q在直線A,B的兩端,

則四邊形APBQ的面積S= |AB|

∴當(dāng)n2=0,即n=0時(shí),四邊形APBQ面積取得最小值2.


【解析】(1)由斜率公式寫出e1 , e2 , 把雙曲線的焦點(diǎn)用含有a,b的代數(shù)式表示,結(jié)合已知條件列關(guān)于a,b的方程組求解a,b的值,則圓錐曲線方程可求;(2)設(shè)出AB所在直線方程,和橢圓方程聯(lián)立后得到關(guān)于y的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得到AB中點(diǎn)M的坐標(biāo),并由橢圓的焦點(diǎn)弦公式求出AB的長度,寫出PQ的方程,和雙曲線聯(lián)立后解出P,Q的坐標(biāo),由點(diǎn)到直線的距離公式分別求出P,Q到AB的距離,然后代入代入三角形面積公式得四邊形APBQ的面積,再由關(guān)于n的函數(shù)的單調(diào)性求得最值.

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(Ⅱ)設(shè)l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B,求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅲ)若定點(diǎn)P(1,1)分弦AB為 = ,求此時(shí)直線l的方程.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列對應(yīng)值如下表:

x

y

﹣1

1

3

1

﹣1

1

3


(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,若函數(shù)y=f(kx)(k>0)周期為 ,當(dāng) 時(shí),方程f(kx)=m恰有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】海南大學(xué)某餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校新生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計(jì)

南方學(xué)生

60

20

80

北方學(xué)生

10

10

20

合計(jì)

70

30

100

(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;

(Ⅱ)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名中文系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.

附:,K2

P(K2k0)

0.10

0.05

0.010

k0

2.706

3.841

6.635

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【題目】本小題滿分12分,1小問5分,2小問7分

圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為的直線交橢圓于兩點(diǎn),且

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2求橢圓的離心率

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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am , 則稱{an}是“H數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n(n∈N*),證明:{an}是“H數(shù)列”;
(2)設(shè){an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d<0,若{an}是“H數(shù)列”,求d的值;
(3)證明:對任意的等差數(shù)列{an},總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.

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B.30°
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D.15°或75°

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