【題目】已知圓C:x2+(y﹣1)2=5,直線l:mx﹣y+1﹣m=0. (Ⅰ)求證:對(duì)m∈R,直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(Ⅱ)設(shè)l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B,求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅲ)若定點(diǎn)P(1,1)分弦AB為 = ,求此時(shí)直線l的方程.

【答案】(Ⅰ)證明:圓C:x2+(y﹣1)2=5,可得圓心C(0,1),半徑為 . ∴圓心C到直線l:mx﹣y+1﹣m=0的距離d= =
∴直線l與圓C相交,即直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(Ⅱ)解:當(dāng)M與P不重合時(shí),連接CM、CP,則CM⊥MP,
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2 ,
設(shè)M(x,y)(x≠1),則x2+(y﹣1)2+(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,
化簡(jiǎn)得:x2+y2﹣x﹣2y+1=0(x≠1),
當(dāng)M與P重合時(shí),x=y=1也滿足上式.
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0.
(Ⅲ)解:設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),由 = ,得 =
,化簡(jiǎn)的x2=3﹣2x1…①
消去y得(1+m2)x2﹣2m2x+m2﹣5=0…(*)
…②
由①②解得 ,帶入(*)式解得m=±1,
∴直線l的方程為x﹣y=0或x+y﹣2=0.

【解析】(Ⅰ)圓C:x2+(y﹣1)2=5,可得圓心C(0,1),半徑為 .求出圓心C到直線l:mx﹣y+1﹣m=0的距離d;利用基本不等式的性質(zhì)、比較d與半徑的關(guān)系即可得出.(Ⅱ)當(dāng)M與P不重合時(shí),連接CM、CP,則CM⊥MP,利用勾股定理與兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出;(Ⅲ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),由 = ,得 = ,直線與圓的方程聯(lián)立消去y得(1+m2)x2﹣2m2x+m2﹣5=0,再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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(1)求a的值;
(2)若x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求m的范圍.
(3)求證:

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A.[﹣ ,﹣
B.(﹣ ,﹣ ]
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D.(﹣ ,﹣ ]

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(1)判斷f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是否為弱減函數(shù);
(2)當(dāng)x∈[1,3]時(shí),不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+k|x|﹣1在[0,3]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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【題目】已知直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(﹣4,﹣3),且被圓(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦長(zhǎng)為8,則直線L的方程是

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【題目】為得到函數(shù)y=sin(x+ )的圖象,可將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,或向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度(m,n均為正數(shù)),則|m﹣n|的最小值是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.

1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;

2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對(duì)理科題的概率均為,答對(duì)文科題的概率均為,若每題答對(duì)得10分,否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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