【題目】對于定義在區(qū)間上的函數(shù),若同時(shí)滿足:
(Ⅰ)若存在閉區(qū)間,使得任取,都有(是常數(shù));
(Ⅱ)對于內(nèi)任意,當(dāng),時(shí)總有恒成立,則稱函數(shù)為“平底型”函數(shù).
(1)判斷函數(shù)和是否是“平底型”函數(shù)?簡要說明理由;
(2)設(shè)是(1)中的“平底型”函數(shù),若不等式對一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù),求和滿足的條件,并說明理由.
【答案】(1)是“平底型”函數(shù),不是“平底型”函數(shù);理由見解析;(2);
(3)且.
【解析】
(1)將函數(shù)與分別表示為分段函數(shù),結(jié)合題中定義對這兩個(gè)函數(shù)是否為“平底型”函數(shù)進(jìn)行判斷;
(2)由(1)知,,由題意得出,利用絕對值三角不等式求出的最小值,然后分、、三種情況來解不等式,即可得出的取值范圍;
(3)假設(shè)函數(shù),是“平底型”函數(shù),則該函數(shù)的解析式需滿足“平底型”函數(shù)的兩個(gè)條件,化簡函數(shù)解析式,檢驗(yàn)“平底型”函數(shù)的兩個(gè)條件同時(shí)具備的、值是否存在.
(1),.
對于函數(shù),當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以,函數(shù)為“平底型”函數(shù).
對于函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
但區(qū)間不是閉區(qū)間,所以,函數(shù)不是“平底型”函數(shù);
(2)由(1)知,,
由于不等式對一切恒成立,則.
由絕對值三角不等式得,則有.
①當(dāng)時(shí),由,得,解得,此時(shí),;
②當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí),;
③當(dāng)時(shí),由,得,解得,此時(shí),.
綜上所述,的取值范圍是;
(3).
①當(dāng)時(shí),
(i)若,則,該函數(shù)為“平底型”函數(shù);
(ii)若,則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);
②當(dāng)時(shí),若時(shí),則,當(dāng)時(shí),,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);
③當(dāng)時(shí),則,
(i)若,則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);
(ii)若,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);
(iii)若,則,則,顯然,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù).
綜上所述,當(dāng)且時(shí),函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于兩點(diǎn).
(1)寫出曲線C和直線l的普通方程;
(2)若點(diǎn),求的值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓與圓外切于點(diǎn),且過點(diǎn),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.
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【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.
①求,的值;
②求實(shí)數(shù)的取值范圍,使得對恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),直線:,平面上有一動點(diǎn),記點(diǎn)到的距離為.若動點(diǎn)滿足:.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)過的動直線與點(diǎn)的軌跡交于,兩點(diǎn),試問:在軸上,是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】已知位數(shù)滿足下列條件:①各個(gè)數(shù)字只能從集合中選;②若其中有數(shù)字,則在的前面不含,將這樣的位數(shù)的個(gè)數(shù)記為;
(1)求、;
(2)探究與之間的關(guān)系,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)對于每個(gè)正整數(shù),在與之間插入個(gè)得到一個(gè)新數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,試探究能否成立,寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明;
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【題目】數(shù)列的前n項(xiàng)組成集合,從集合中任取個(gè)數(shù),其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),例如:對于數(shù)列,當(dāng)時(shí),時(shí),;
(1)若集合,求當(dāng)時(shí),的值;
(2)若集合,證明:時(shí)集合的與時(shí)集合的(為了以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式,其中;
(3)對于(2)中集合.定義,求(用n表示).
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【題目】設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,那么過兩點(diǎn)、的直線與圓的位置關(guān)系是( )
A.相離B.相切C.相交D.隨的變化而變化
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【題目】設(shè)數(shù)據(jù)是鄭州市普通職工個(gè)人的年收入,若這個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,平均數(shù)為,方差為,如果再加上世界首富的年收入,則這個(gè)數(shù)據(jù)中,下列說法正確的是( )
A.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)一定變大,方差可能不變
B.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大
C.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變
D.年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變
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