Question

【題目】已知實(shí)數(shù)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性確定有兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明時(shí)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）不妨設(shè)，并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)遞增，結(jié)合可得，最后根據(jù)單調(diào)性得結(jié)果.

（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，必須，即，

當(dāng)時(shí)，，故存在使得，

構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，

則，故存在使得，

結(jié)合的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上.

（2）證明：由（1）不妨設(shè)，構(gòu)造，

，故在R上單調(diào)遞增，又，

故當(dāng)時(shí)，，即，取得，

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以，所以.