【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),右焦點(diǎn)到直線的距離為3

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓于M,N兩點(diǎn),求證:直線MN恒過定點(diǎn)

【答案】12)見解析

【解析】

1)由題可知值,由右焦點(diǎn)到直線的距離為3表示,和 構(gòu)建方程組,求得,即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,即可表示點(diǎn)M的坐標(biāo),由,垂直,則將M坐標(biāo)中的k換成,即可表示N點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)分別表示,觀察即可證明.

1)由題意知,,,

解得,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2)顯然直線的斜率存在.

設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立方程組,得,

解得,,

所以

垂直,可得直線的方程為

替換前式中的k,可得

,

所以,故直線MN恒過定點(diǎn)

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