Question

【題目】已知 （x≥0）成等差數(shù)列．又?jǐn)?shù)列{an}（an＞0）中，a1＝3 ，此數(shù)列的前n項(xiàng)的和Sn（n∈N*）對(duì)所有大于1的正整數(shù)n都有Sn＝f（Sn－1）．

（1）求數(shù)列{an}的第n＋1項(xiàng)；

（2）若是，的等比中項(xiàng)，且Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求Tn.

Answer 1

【答案】（1） an＋1＝6n＋3（2）

【解析】

試題分析：（1）有（x≥0）成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義得到f（x）的函數(shù)解析式，再利用Sn=f（Sn-1）得到數(shù)列an的關(guān)于前n項(xiàng)和式子，在有前n項(xiàng)和求出數(shù)列的第n+1項(xiàng)；（2）由于是，的等比中項(xiàng)，所以可以利用等比中項(xiàng)的定義得到數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，在利用裂項(xiàng)相消法可以求{bn}的前n項(xiàng)和Tn

試題解析：因?yàn)?/span>，， （x≥0）成等差數(shù)列，所以×2＝＋.

所以f（x）＝（＋）2.

因?yàn)镾n＝f（Sn－1）（n≥2），

所以Sn＝f（Sn－1）＝（＋）2.

所以＝＋，－＝.

所以{}是以為公差的等差數(shù)列．

因?yàn)閍1＝3，所以S1＝a1＝3.

所以＝＋（n－1） ＝＋－＝n.

所以Sn＝3n2（n∈N*）．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3（n＋1）2－3n2＝6n＋3.

（2）因?yàn)閿?shù)列是，的等比中項(xiàng)，

所以（）2＝·，

所以bn＝＝＝.

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝