【題目】已知函數(shù),函數(shù)g(x)=-2x+3.
(1)當(dāng)a=2時,求f(x)的極值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若-2≤a≤-1,對任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤t|g(x1)-g(x2)|恒成立,求實數(shù)t的最小值.
【答案】(1)f(x)極大值=f(1)=0,無極小值
(2)當(dāng)a≤0時,F(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,F(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減
(3).
【解析】
(1)當(dāng)a=2時,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間,進而得到極值.
(2)求得,分a≤0和a>0,兩種情況討論,即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)把不等式轉(zhuǎn)化為f(x2)-f(x1)≤t[g(x1)-g(x2)],得到f(x2)+tg(x2)≤f(x1)+tg(x1)對任意-2≤a≤-1,1≤x1≤x2≤2恒成立,令,得到h(x)在[1,2]遞減,求得 對任意a∈[-2,-1],x∈[1,2]恒成立,進而轉(zhuǎn)化變量只需要研究,即可求得t的取值范圍.
(1)由題意,當(dāng)a=2時,函數(shù)f(x)=lnx-x2+x,
則.
易知f(x)在(0,1)遞增,(1,+∞)遞減,
所以函數(shù)f(x)極大值為,無極小值.
(2)由函數(shù),
則.
①a≤0時,>0,恒成立,∴F(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
②當(dāng)a>0,由>0得,<0得,
所以F(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a≤0時,F(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時,F(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(3)由題知t≥0,.
當(dāng)-2≤a≤-1時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,不妨設(shè)1≤x1≤x2≤2,
又g(x)單調(diào)遞減,∴不等式等價于f(x2)-f(x1)≤t[g(x1)-g(x2)].
即f(x2)+tg(x2)≤f(x1)+tg(x1)對任意-2≤a≤-1,1≤x1≤x2≤2恒成立,
記,則h(x)在[1,2]遞減.
對任意a∈[-2,-1],x∈[1,2]恒成立.
令.
則在[1,2]上恒成立,
則,
而在[1,2]單調(diào)遞增,∴,所以.
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【題目】已知復(fù)數(shù)滿足,的虛部為2,
(1)求復(fù)數(shù);
(2)設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為,求的面積.
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【題目】正方體的棱長為1,分別為的中點.則( )
A.直線與直線垂直B.直線與平面平行
C.平面截正方體所得的截面面積為D.點和點到平面的距離相等
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對任意、,且,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),且f(x+3)=f(x-1),若當(dāng)x∈[-2,0]時,f(x)=2-x,記,,c=f(32),則a,b,c的大小關(guān)系為( 。
A.B.C.D.
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【題目】已知位數(shù)滿足下列條件:①各個數(shù)字只能從集合中選。②若其中有數(shù)字4,則在4的前面不含2.將這樣的n位數(shù)的個數(shù)記為
(1)求;
(2)探究與之間的關(guān)系,求出數(shù)列的通項公式;
(3)對于每個正整數(shù),在與之間插入個得到一個新數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項和,試探究能否成立?寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:的左、右頂點為A,B,右焦點為F.過點A且斜率為k()的直線交橢圓C于另一點P.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若,求的值;
(3)設(shè)直線l:,延長AP交直線l于點Q,線段BQ的中點為E,求證:點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線PF上.
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【題目】在長方體,中,,過三點的平面D截去長方體的一個角后,得到如圖所示的幾何體.
(1)求幾何體的體積;
(2)求直線與面所成角.(用反三角表示)
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