【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)a=3時(shí),函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)分類討論,詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)由,分和兩種情況進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)性.
(2)函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),即方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,設(shè),求出導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在原理得出結(jié)論,使得問題得證.
解:(1)的定義域?yàn)?/span>,.
①時(shí),,則在是單調(diào)遞增;
②時(shí),由得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
綜上,時(shí)在是單調(diào)遞增;
時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2).,令,
則,令,
顯然時(shí),,
時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
,
易知存在唯一,使,且時(shí),,即,單調(diào)遞減;
時(shí),,即,單調(diào)遞增,
所以至多有兩個(gè)零點(diǎn).又,,,
故在區(qū)間和各有一個(gè)零點(diǎn).所以函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點(diǎn),且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).
(1)若,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)向量,,若k–與+3平行,求實(shí)數(shù) 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,若存在實(shí)數(shù)使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】若數(shù)列滿足:存在正整數(shù)T,對于任意正整數(shù)n都有成立,則稱數(shù)列為周期數(shù)列,周期為T.已知數(shù)列滿足,,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.若,則m可以取3個(gè)不同的值;
B.若,則數(shù)列是周期為3的數(shù)列;
C.對于任意的且T≥2,存在,使得是周期為的數(shù)列
D.存在且,使得數(shù)列是周期數(shù)列
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠APC=90°,∠BPD=120°,PB=PD.
(1)求證:平面APC⊥平面BPD;
(2)若AB=2AP=2,求三棱錐C-PBD的體積.
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【題目】2016年入冬以來,各地霧霾天氣頻發(fā),頻頻爆表(是指直徑小于或等于微米的顆粒物),各地對機(jī)動(dòng)車更是出臺(tái)了各類限行措施,為分析研究車流量與的濃度是否相關(guān),某市現(xiàn)采集周一到周五某一時(shí)間段車流量與的數(shù)據(jù)如下表:
時(shí)間 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
車流量(萬輛) | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
的濃度(微克/立方米) | 69 | 70 | 74 | 78 | 79 |
(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù),在上面給出的坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖;
(2)試判斷與是否具有線性關(guān)系,若有請求出關(guān)于的線性回歸方程,若沒有,請說明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,圓以為圓心,4為半徑;又直線的極坐標(biāo)方程為。
(Ⅰ)求直線和圓的普通方程;
(Ⅱ)試判定直線和圓的位置關(guān)系.若相交,則求直線被圓截得的弦長.
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【題目】已知,.
(1)若,判斷函數(shù)在的單調(diào)性;
(2)證明: ,;
(3)設(shè) ,對,,有恒成立,求的最小值.
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【題目】2020年1月10日,引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后,科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做動(dòng)物試驗(yàn).已知一個(gè)科研團(tuán)隊(duì)用小白鼠做接種試驗(yàn),檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗(yàn)設(shè)計(jì)是:每天接種一次,3天為一個(gè)接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為,假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).
(1)求一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)的分布列;
(2)已知每天接種一次花費(fèi)100元,現(xiàn)有以下兩種試驗(yàn)方案:
①若在一個(gè)接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗(yàn),進(jìn)行下一接種周期,試驗(yàn)持續(xù)三個(gè)接種周期,設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元;
②若在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體,該周期結(jié)束后終止試驗(yàn),已知試驗(yàn)至多持續(xù)三個(gè)接種周期,設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元.
比較隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望的大小.
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