【題目】在數(shù)學(xué)建模課上，老師給大家?guī)砹艘粍t新聞：“2019年8月16日上午，423米的東莞第一高樓民盈國貿(mào)中心2號(hào)樓（以下簡(jiǎn)稱“國貿(mào)中心”）正式封頂，隨著最后一方混凝土澆筑到位，標(biāo)志著東莞最高樓紀(jì)錄誕生，由東莞本地航母級(jí)企業(yè)民盈集團(tuán)刷新了東莞天際線，比之前的東莞第一高樓臺(tái)商大廈高出134米.”在同學(xué)們的驚嘆中，老師提出了問題：國貿(mào)中心真有這么高嗎？我們能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)測(cè)量驗(yàn)證一下？一周后，兩個(gè)興趣小組分享了他們各自的測(cè)量方案.

第一小組采用的是“兩次測(cè)角法”：他們?cè)趪Q(mào)中心隔壁的會(huì)展中心廣場(chǎng)上的點(diǎn)測(cè)得國貿(mào)中心頂部的仰角為，正對(duì)國貿(mào)中心前進(jìn)了米后，到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得國貿(mào)中心頂部的仰角為，然后計(jì)算出國貿(mào)中心的高度（如圖）.

第二小組采用的是“鏡面反射法”：在國貿(mào)中心后面的新世紀(jì)豪園一幢11層樓（與國貿(mào)中心處于同一水平面，每層約3米）樓頂天臺(tái)上，進(jìn)行兩個(gè)操作步驟：①將平面鏡置于天臺(tái)地面上，人后退至從鏡中能看到國貿(mào)大廈的頂部位置，測(cè)量出人與鏡子的距離為米；②正對(duì)國貿(mào)中心，將鏡子前移米，重復(fù)①中的操作，測(cè)量出人與鏡子的距離為米.然后計(jì)算出國貿(mào)中心的高度（如圖）.

實(shí)際操作中，第一小組測(cè)得米，，，最終算得國貿(mào)中心高度為；第二小組測(cè)得米，米，米，最終算得國貿(mào)中心高度為；假設(shè)他們測(cè)量者的“眼高”都為米.

（1）請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)幫兩個(gè)小組完成計(jì)算（參考數(shù)據(jù)：，,答案保留整數(shù)結(jié)果）；

（2）你認(rèn)為哪個(gè)小組的方案更好，說出你的理由.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）對(duì)于第一小組，利用銳角三角函數(shù)解答；第二小組利用三角形相似可求；

（2）從測(cè)量難易程度以及數(shù)據(jù)的誤差，對(duì)比分析.

解：（1）第一小組：在中得，；在中得，

因?yàn)?/span>即

得米

米

第二小組：,得

同理得，

因?yàn)?/span>得

所以=米

所以米

（2）優(yōu)點(diǎn)：①測(cè)量方法較好理解，普適性強(qiáng)；②計(jì)算思路簡(jiǎn)潔；

不足：①的距離較長(zhǎng)，測(cè)量要求高，難度大；②角度測(cè)量較難精準(zhǔn)，容易造成誤差；③場(chǎng)地要求較高；

第二組方案

優(yōu)點(diǎn)：①測(cè)量方法有創(chuàng)意（用到鏡面成像和相似三角形）；②相對(duì)距離短，比較好測(cè)量；③只需測(cè)量距離，需要的工具少；

不足：①兩次放鏡子相對(duì)距離太短，容易造成誤差；②鏡面放置較難保持水平，容易造成誤差；③如果鏡面較大，人眼看鏡內(nèi)物像時(shí)，兩次不一定都看準(zhǔn)鏡面上的同一個(gè)點(diǎn)，易造成誤差；④人與鏡子的距離差值較小，測(cè)量容易造成誤差

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.該原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中的平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到幾何體如圖一，現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域的面積相等，則此圓柱的體積為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是　　

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，橢圓的上頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為2，證明：過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將正分割成個(gè)全等的小正三角形（圖1，圖2分別給出了的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)的和為，已知，則（用含的式子表達(dá)）__________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線 ： （ ）的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在拋物線 上，且 ，直線 與拋物線 交于 ， 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線 的方程；

（2）求 的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，為等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)斜率為-2的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相交所得的弦為線段，求的面積的最大值（是坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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