Question

【題目】將正分割成個(gè)全等的小正三角形（圖1，圖2分別給出了的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)的和為，已知，則（用含的式子表達(dá)）__________

Answer 1

【答案】

【解析】

作為一個(gè)填空題，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，依次分析，數(shù)據(jù)特點(diǎn)，根據(jù)規(guī)律觀察歸納出

各點(diǎn)放的數(shù)用該點(diǎn)的字母表示，

由題，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得：

當(dāng)時(shí)，，三個(gè)式子相加得：

，；

當(dāng)時(shí)，，三個(gè)式子相加得：

，

由根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)：，三個(gè)式子相加可得：，所以，

當(dāng)時(shí)，依據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)性質(zhì)：

，即，

同理，

所以，

，

由于每條與三邊平行的線上的點(diǎn)上數(shù)據(jù)成等差數(shù)列：

所以，

，

即，

可以分析當(dāng)時(shí)，各邊上的點(diǎn)數(shù)據(jù)之和為，

內(nèi)部的點(diǎn)個(gè)數(shù)為，點(diǎn)上數(shù)據(jù)之和為，

所以，

即.