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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,點、分別在線段、上,且,其中,連接,延長的延長線交于點,連接

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)若時,求二面角的正弦值;

(Ⅲ)若直線與平面所成角的正弦值為時,求值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)在線段上取一點,使得,,證明四邊形為平行四邊形,得到,然后證明平面

(Ⅱ)以為坐標原點,分別以,,軸建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量,平面的一個法向量利用空間向量的數量積,求解二面角的正弦值.

(Ⅲ)令,,,,,求出平面的一個法向量利用空間向量的數量積轉化求解即可.

(Ⅰ)在線段上取一點,使得,

,

,

,,

,

四邊形為平行四邊形,

平面,平面

平面

(Ⅱ)以為坐標原點,分別以,,,軸建立空間直角坐標系,0,,0,,,2,,,2,,,0,,

,,1,,,0,

設平面的一個法向量為,

,

,令,,,

設平面的一個法向量為,

,

,,,,

,

二面角的正弦值為

(Ⅲ)令,,,

設平面的一個法向量為,

,,

,令,

,

由題意可得:,

,

練習冊系列答案
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日生產Ⅰ型零件總數之和小于Ⅱ型零件總數之和

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