Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸上的一點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用橢圓的離心率可以求得，利用的最大值求出的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，為避免直線方程斜率是否存在的討論，可設(shè)直線方程為，先求，兩點(diǎn)間距離，再求點(diǎn)到直線的距離，即可求面積，因?yàn)槊娣e由底和高兩部分構(gòu)成，所以分別求出兩部分的最大值，即可求出面積的最大值.

（1）解法一：由題意可得離心率，

又，∴，，

令點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，

則

，

∴，∴，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解法二：由題意可得離心率，

又，∴，，

令橢圓上任意一點(diǎn)，

，

當(dāng)時(shí)，，

，滿足；

當(dāng)時(shí)，，

解得（負(fù)值舍去），，

則，不滿足條件，舍去，

綜上，，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（），

直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方

程化簡(jiǎn)得，

令，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

由韋達(dá)定理可得，，

則，

化簡(jiǎn)得，

點(diǎn)到直線的距離，

的面積，

令，

則

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值為，此時(shí)面積取到最大值，

即，此時(shí)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上，面積的最大值為.