【題目】設(shè)函數(shù),其中是實數(shù).
(l)若 ,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若為函數(shù)圖像上一點,且直線與相切于點,其中為坐標(biāo)原點,求的值;
(3) 設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為,若在定義域內(nèi)恒成立,則稱函數(shù)具有某種性質(zhì),簡稱“函數(shù)”.當(dāng)時,試問函數(shù)是否為“函數(shù)”?若是,請求出此時切點的橫坐標(biāo);若不是,清說明理由.
【答案】(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2);(3)是“函數(shù)”, .
【解析】試題分析:(1)求出,分別令和可以得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.(2)由題設(shè),曲線在處的切線過原點,故 ,整理得到,根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)以及得到.(3)函數(shù)在處的切線方程為: ,
構(gòu)造函數(shù)
其導(dǎo)數(shù)為分別討論和時的符號以及進一步討論的單調(diào)性可知在和上不是“函數(shù)”,故,經(jīng)檢驗符合.
解析:(1)由,得, (),, 由得: ;由得: .所以的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(2)由,得, . , 所以切線的斜率.又切線的斜率為,所以, ,即,設(shè), ,所以,函數(shù)在(0,+∞)上為遞增函數(shù),且是方程的一個解,即是唯一解,所以,.
(3)當(dāng)時,由函數(shù)在其圖象上一點處的切線方程為 ,
令
設(shè) ,則.
且
當(dāng) 時, ,則在上有 ,故在上單調(diào)遞增,故當(dāng)有,所以在有;
當(dāng) 時, ,則在上有 ,故在上單調(diào)遞增,故當(dāng)有,所以在有;
因此,在上 不是“函數(shù)”.
當(dāng)時, ,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以, 時, , ;
時, , .因此,切點為點,其橫坐標(biāo)為.
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【題目】在 中, 所對的邊分別為,且.
(1)求角的大;
(2)若, , 為的中點,求的長.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)由已知,利用正弦定理可得a2=b2+c2-2b,再利用余弦定理即可得出cosA,結(jié)合A的范圍即可得解A的值.
(2)△ABC中,先由正弦定理求得AC的值,再由余弦定理求得AB的值,△ABD中,由余弦定理求得BD的值.
試題解析:
(1)因為asin A=(b-c)sin B+(c-b)·sin C,
由正弦定理得a2=(b-c)b+(c-b)c,
整理得a2=
由余弦定理得cos A===,
因為A∈(0,π),所以A=.
(2)由cos B=,得sin B===,
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-=-,
由正弦定理得b===2,
所以CD=AC=1,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=()2+12-2×1××=13,
所以BD=.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過點
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex(ax2﹣x﹣1)(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,求a的取值范圍
(2)當(dāng)a>0時,求f(|sinx|)的最小值.
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【題目】在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,R表示的外接圓半徑.
(Ⅰ)如圖,在以O圓心、半徑為2的O中,BC和BA是O的弦,其中,求弦AB的長;
(Ⅱ)在中,若是鈍角,求證:;
(Ⅲ)給定三個正實數(shù)a、b、R,其中,問:a、b、R滿足怎樣的關(guān)系時,以a、b為邊長,R為外接圓半徑的不存在、存在一個或存在兩個(全等的三角形算作同一個)?在存在的情況下,用a、b、R表示c.
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【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn , 已知a1=1, =12.
(1)求{an}的通項公式an;
(2)bn= ,bn的前n項和Tn , 求證;Tn< .
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【題目】求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量x的集合,并分別寫出最大值、最小值:
(1)y=3-2sin x;
(2)y=sin.
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【題目】已知函數(shù)f(x)的圖像可以由y=cos2x的圖像先縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,最后向右平移個單位而得到.
⑴求f(x)的解析式與最小正周期;
⑵求f(x)在x∈(0,π)上的值域與單調(diào)性.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2 sin( + )sin( ﹣ )﹣sin(π+x),且函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱.
(1)若存在x∈[0, ),使等式[g(x)]2﹣mg(x)+2=0成立,求實數(shù)m的最大值和最小值
(2)若當(dāng)x∈[0, ]時不等式f(x)+ag(﹣x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知命題:若關(guān)于的方程無實數(shù)根,則;命題:若關(guān)于的方程有兩個不相等的正實數(shù)根,則.
(1)寫出命題的否命題,并判斷命題的真假;
(2)判斷命題“且”的真假,并說明理由.
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