【題目】已知函數,(為自然對數的底數).
(1)求曲線在處的切線的方程;
(2)若對于任意實數,恒成立,試確定的取值范圍;
(3)當時,函數在上是否存在極值?若存在,請求出極值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在,理由見解析
【解析】
(1) 求得的導數,可得切線的斜率和切點,由點斜式方程可得切線的方程;
(2) 討論和,由參數分離和構造函數,求出導數,單調區(qū)間,可得最值,進而
得到所求的范圍;
(3)依題意,,求出導數,可令, 求得導數和單調區(qū)間、可得最值,進而得到M(x)的單調性,即可判斷存在性.
(1),.
在處的切線斜率為,
∴切線的方程為,即.
(2)∵對于任意實數,恒成立,
∴若,則為任意實數時,恒成立;
若,恒成立,即,在上恒成立,
設,則,
當時,,則在上單調遞增;
當時,,則在上單調遞減;
所以當時,取得最大值,,
所以的取值范圍為.
綜上,對于任意實數,恒成立的實數的取值范圍為.
(3)依題意,,所以,
設,則,當,
故在上單調增函數,因此在上的最小值為,
即,又,所以在上,
,即在上不存在極值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程和的直角坐標方程;
(2)設是曲線上一點,此時參數,將射線繞原點逆時針旋轉交曲線于點,記曲線的上頂點為點,求的面積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(Ⅰ)若,證明:函數在上單調遞減;
(Ⅱ)是否存在實數,使得函數在內存在兩個極值點?若存在,求實數的取值范圍;若不存在,請說明理由. (參考數據: , )
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】由中央電視臺綜合頻道和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事,分享他們對于生活和生命的感悟,給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng),討論青年們的人生問題,同時也在討論青春中國的社會問題,受到青年觀眾的喜愛,為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度,電視臺隨機調查了、兩個地區(qū)的100名觀眾,得到如下的列聯(lián)表,已知在被調查的100名觀眾中隨機抽取1名,該觀眾是地區(qū)當中“非常滿意”的觀眾的概率為0.4.
非常滿意 | 滿意 | 合計 | |
35 | 10 |
| |
| |||
合計 |
|
|
|
(1)現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調查,則應抽取“非常滿意”的、地區(qū)的人數各是多少.
(2)完成上述表格,并根據表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關系.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:參考公式:.
(3)若以抽樣調查的頻率為概率,從、兩個地區(qū)隨機抽取2人,設抽到的觀眾“非常滿意”的人數為,求的分布列和期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線參數方程為為參數),將曲線上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>,得到曲線.
(1)求曲線的普通方程;
(2)過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點,求取得最小值時的值.
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【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的,G是的中點.
(1)設P是上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大;
(2)當AB=3,AD=2時,求二面角E-AG-C的大小.
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