【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是的中點.
(1)設(shè)P是上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大。
(2)當AB=3,AD=2時,求二面角E-AG-C的大小.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析: (1)第(1)問,直接證明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,從而求出∠CBP的大小. (2)第(2)問,可以利用幾何法求,也可以利用向量法求解.
試題解析:
(1)
因為AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.
又BP平面ABP,所以BE⊥BP.又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.
(2)方法一:如圖,取的中點H,連接EH,GH,CH.
因為∠EBC=120°,所以四邊形BEHC為菱形,
所以AE=GE=AC=GC=.
取AG的中點M,連接EM,CM,EC,
則EM⊥AG,CM⊥AG,
所以∠EMC為所求二面角的平面角.
又AM=1,所以EM=CM=.
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,
所以EC=2,所以△EMC為等邊三角形,
故所求的角為60°.
方法二:
以B為坐標原點,分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz.
由題意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,3),C(-1, ,0),
故=(2,0,-3), =(1, ,0), =(2,0,3).
設(shè)=(x1,y1,z1)是平面AEG的一個法向量,
由可得
取z1=2,可得平面AEG的一個法向量=(3,- ,2).
設(shè)=(x2,y2,z2)是平面ACG的一個法向量.
由可得
取z2=-2,可得平面ACG的一個法向量n=(3,- ,-2).
所以cos〈〉==.
故所求的角為60°.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別過橢圓左、右焦點的動直線相交于點,與橢圓分別交于與不同四點,直線的斜率滿足.已知當與軸重合時,,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在定點,使得為定值?若存在,求出點坐標并求出此定值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),和.
【解析】試題分析:(1)當與軸重合時,垂直于軸,得,得,從而得橢圓的方程;(2)由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,所以把坐標化,可得點的軌跡是橢圓,從而求得定點和點.
試題解析:當與軸重合時,, 即,所以垂直于軸,得,,, 得,橢圓的方程為.
焦點坐標分別為, 當直線或斜率不存在時,點坐標為或;
當直線斜率存在時,設(shè)斜率分別為, 設(shè)由, 得:
, 所以:,, 則:
. 同理:, 因為
, 所以, 即, 由題意知, 所以
, 設(shè),則,即,由當直線或斜率不存在時,點坐標為或也滿足此方程,所以點在橢圓上.存在點和點,使得為定值,定值為.
考點:圓錐曲線的定義,性質(zhì),方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應(yīng)用進行考查,第一問通過兩個特殊位置,得到基本量,,得,,從而得橢圓的方程,第二問由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,本題的關(guān)鍵是從這個角度出發(fā),把坐標化,求得點的軌跡方程是橢圓,從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知,,.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點為,記,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生一次考試后數(shù)學(xué)、物理兩個科目的成績情況,從中隨機抽取了25位考生的成績進行統(tǒng)計分析.25位考生的數(shù)學(xué)成績已經(jīng)統(tǒng)計在莖葉圖中,物理成績?nèi)缦拢?/span>
(Ⅰ)請根據(jù)數(shù)據(jù)在答題卡的莖葉圖中完成物理成績統(tǒng)計;
(Ⅱ)請根據(jù)數(shù)據(jù)在答題卡上完成數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布表及數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖;
數(shù)學(xué)成績分組 | [50,60﹚ | [60,70﹚ | [70,80﹚ | [80,90﹚ | [90,100﹚ | [100,110﹚ | [110,120] |
頻數(shù) |
(Ⅲ)設(shè)上述樣本中第i位考生的數(shù)學(xué)、物理成績分別為xi,yi(i=1,2,3,…,25).通過對樣本數(shù)據(jù)進行初步處理發(fā)現(xiàn):數(shù)學(xué)、物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系,得到:=86,=64,(xi-)(yi-)=4698,(xi-)2=5524,≈0.85.求y關(guān)于x的線性回歸方程,并據(jù)此預(yù)測當某考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>100分時,該考生的物理成績(精確到1分).
附:回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:=,=-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院擬從往年的智慧隊和理想隊中選拔4名大學(xué)生組成志愿者招募宣傳隊.往年的智慧對和理想隊的構(gòu)成數(shù)據(jù)如下表所示,現(xiàn)要求選出的4名大學(xué)生中兩隊中的大學(xué)生都要有.
(1)求選出的4名大學(xué)生僅有1名女生的概率;
(2)記選出的4名大學(xué)生中女生的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醬油廠對新品種醬油進行了定價,在各超市得到售價與銷售量的數(shù)據(jù)如下表:
單價(元) | 5 | 5.2 | 5.4 | 5.6 | 5.8 | 6 |
銷量(瓶) | 9.0 | 8.4 | 8.3 | 8.0 | 7.5 | 6.8 |
(1)求售價與銷售量的回歸直線方程;( ,)
(2)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶,為使工廠獲得最大利潤(利潤=銷售收入成本),該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?
相關(guān)公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連結(jié)PE并延長交AB于點G.
(Ⅰ)證明:G是AB的中點;
(Ⅱ)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在上海高考改革方案中,要求每位考生必須在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六門學(xué)科中選擇三門參加等級考試,受各因素影響,小李同學(xué)決定選擇物理,并在生物和地理中至少選擇一門.
(1)小李同學(xué)共有多少種不同的選科方案?
(2)若小吳同學(xué)已確定選擇生物和地理,求小吳同學(xué)與小李同學(xué)選科方案相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了解本市萬名學(xué)生的漢字書寫水平,在全市范圍內(nèi)進行了漢字聽寫考試,發(fā)現(xiàn)其成績服從正態(tài)分布,現(xiàn)從某校隨機抽取了名學(xué)生,將所得成績整理后,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估算該校名學(xué)生成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)求這名學(xué)生成績在內(nèi)的人數(shù);
(3)現(xiàn)從該校名考生成績在的學(xué)生中隨機抽取兩人,該兩人成績排名(從高到低)在全市前名的人數(shù)記為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):若,則,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)
(1)若是定義域上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
(2)設(shè),分別為的極大值和極小值,若,求取值范圍.
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