Question

【題目】已知拋物線E：（）的焦點(diǎn)為F，圓C:，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為.

（1）求拋物線E的方程；

（2）若，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)，由拋物線的定義求得，進(jìn)而得到，再結(jié)合，列出關(guān)于的方程，即可求得的值，得到拋物線的方程；

（2）設(shè),,且，由圓心到直線PM當(dāng)距離為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)得，同理得到，進(jìn)而得到為的兩根，求得，得到面積的表達(dá)式，利用均值不等式，即可求解.

（1）由題意，拋物線E:（）的焦點(diǎn)為，

圓的圓心C為，

因?yàn)?/span>，由拋物線的定義可得，解得，

又，所以，

又，即，整理得，

所以或

解得或，

又，所以，所以拋物線方程為.

（2）設(shè),,且，不妨設(shè)P在y軸右側(cè)，

故直線PM當(dāng)方程為，即，

由題設(shè)知，圓心到直線PM當(dāng)距離為1，即，

化簡(jiǎn)上式得，同理可得，

由上可知為的兩根，

則，且，

所以，

所以，

設(shè),，，

所以面積的最小值.