Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD中AC⊥BD，CE=2AE=2BE=2DE=2，將四邊形ABCD沿著BD折疊，得到圖2所示的三棱錐A﹣BCD，其中AB⊥CD．
（1）證明：平面ACD⊥平面BAD；
（2）若F為CD中點，求二面角C﹣AB﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（1）∵AE⊥BD，且BE=DE，∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AB⊥AD，又AB⊥CD，且AD，CD平面ACD，AD∩CD=D，

∴AB⊥平面ACD，

又AB平面BAD，∴平面ACD⊥平面BAD．

（2）解：（2）以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，

過E作平面BDC的垂直為z軸，建立空間直角坐標系，

過A作平面BCD的垂線，垂足為G，根據對稱性，G點在x軸上，

設AG=h，由題設知：

E（0，0，0），C（2，0，0），B（0，﹣1，0），D（0，1，0），

A（ ，0，h），F(xiàn)（1， ，0）， =（ ，1，h）， =（2，﹣1，0），

∵AB⊥CD，∴ =2 ﹣1=0，解得h= ，

∴A（ ）．

∵ =（ ）， =（1， ，0），

設平面ABF的法向量 =（a，b，c），

則 ，

令a=9，得 =（9，﹣6， ），

∵AD⊥AB，AD⊥AC，

∴2 =（1，﹣2， ）是平面ABC的一個法向量，

∴cos＜ ，2 ＞= = = ，

∵二面角C﹣AB﹣F是銳角，

∴二面角C﹣AB﹣F的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）地出AB⊥AD，AB⊥CD，且AD，由此能證明AB⊥平面ACD，從而得到平面ACD⊥平面BAD．（Ⅱ）以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，過E作平面BDC的垂直為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AB﹣F的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．