如圖,設F(-c,0)是橢圓的左焦點,直線l:x=-與x軸交于P點,MN為橢圓的長軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A,B。
①證明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面積的最大值。
(Ⅰ)橢圓的標準方程為;(Ⅱ)①詳見解析;②.
解析試題分析:(Ⅰ)求橢圓的標準方程,只需利用待定系數(shù)法來求,由,知,由,得,將代入,可求出的值,從而得的值,由此能求出橢圓的標準方程.(Ⅱ)①證明:,只需證明即可,這是直線與二次曲線位置關系問題,可采用設而不求的方法,因此當的斜率為0時,,滿足題意.當的斜率不為0時,可設直線的方程為,代入橢圓方程得,設出,有根與系數(shù)關系,及斜率公式可得,從而得到.故恒有;②求△ABF面積的最大值,由圖可知,由基本不等式,能求出三角形ABF面積的最大值.
試題解析:(Ⅰ)∵|MN|=8, ∴a=4, (1分)
又∵|PM|=2|MF|,∴e=, (2分)
∴c=2,b2=a2-c2=12,
∴橢圓的標準方程為 (3分)
(Ⅱ)①證明:
當AB的斜率為0時,顯然∠AFM=∠BFN=0,滿足題意; (4分)
當AB的斜率不為0時,設AB的方程為x=my-8,
代入橢圓方程整理得(3m2+4)y2-48my+144=0. (5分)
△=576(m2-4), yA+yB=, yAyB=.
則
,
而2myAyB-6(yA+yB)=2m·-6·=0, (7分)
∴kAF+kBF=0,從而∠AFM=∠BFN.
綜合可知:對于任意的割線PAB,恒有∠AFM=∠BFN. (8分)
②方法一:
S△ABF=S△PBF-S△PAF (10分)
即S△ABF=, (12分)
當且僅當,即m=±時(此時適合于△>0的條件)取到等號。
∴△ABF面積的最大值是3. (13分)
方法二:
點F到直線AB的距離 (10分)
, (12分)
當且僅當,即m=±時取等號。 (13分)
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標準方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(1)已知點和,過點的直線與過點的直線相交于點,設直線的斜率為,直線的斜率為,如果,求點的軌跡;
(2)用正弦定理證明三角形外角平分線定理:如果在中,的外角平分線與邊的延長線相交于點,則.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,已知過點的橢圓:的右焦點為,過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于,兩點,點關于坐標原點的對稱點為,直線,分別交橢圓的右準線于,兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點的坐標為,試求直線的方程;
(3)記,兩點的縱坐標分別為,,試問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線:和⊙:,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線為E、F兩點,圓心點到拋物線準線的距離為.
(1)求拋物線的方程;
(2)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;
(3)若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為的正方形(記為)
(Ⅰ)求橢圓的方程
(Ⅱ)設點是直線與軸的交點,過點的直線與橢圓相交于兩點,當線段的中點落在正方形內(包括邊界)時,求直線斜率的取值范圍
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已知、為橢圓的左、右焦點,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線交橢圓于兩點,則的內切圓的面積是否存在最大值?
若存在其最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.
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已知橢圓C的左、右焦點分別為,橢圓的離心率為,且橢圓C經過點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若線段是橢圓過點的弦,且,求內切圓面積最大時實數(shù)的值.
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某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、是過拋物線焦點的兩條弦,且其焦點,,點為軸上一點,記,其中為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小,求的大。
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已知點(,是常數(shù)),且動點到軸的距離比到點的距離小.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)(i)已知點,若曲線上存在不同兩點、滿足,求實數(shù)的取值范圍;
(ii)當時,拋物線上是否存在異于、的點,使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線,若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.
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