Question

【題目】設(shè)函數(shù)，（），

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求正實數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，利用分類討論思想，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)研究導(dǎo)函數(shù)的正負情況，進而得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)間區(qū)間；（2）將問題等價轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用分類討論思想研究導(dǎo)函數(shù)的正負情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而判定各種情況是否符合題意，從而得出參數(shù)的取值范圍.

解:（1），

則.

①當(dāng)時，，∴單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

②當(dāng)時，令，，

：，即時，，即,

∴單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

：時，即，設(shè)，，

∵，，∴，

∴時，即∴的單調(diào)增區(qū)間是，

同理：單調(diào)減區(qū)間是，

綜上：①當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

②當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是

其中： ， .

（2）因為函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，

所以在區(qū)間上恒成立.

設(shè)，其中，

所以，其中，.

①當(dāng)，即時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

故成立，滿足題意.

②當(dāng)，即時，設(shè)，

則圖象的對稱軸，，，

所以在上存在唯一實根，設(shè)為，則，，，

所以在上單調(diào)遞減，此時，不合題意.

綜上可得，實數(shù)t的取值范圍是.