Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=0時(shí)，直接寫出f（x）的值域（不要求寫出求解過程）；
（2）若a= ，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=b=0時(shí)，f（x）=e﹣x，f（x）的值域是（0，+∞）
（2）解：若a= ，f（x）=（x2+bx+1）e﹣x，

則f′（x）=（2x+b）e﹣x﹣（x2+bx+1）e﹣x=﹣[x2+（b﹣2）x+1﹣b]e﹣x=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x，

由f′（x）=0得﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]=0，即x=1或x=1﹣b，

①若1﹣b=1，即b=0時(shí)，f′（x）=﹣（x﹣1）2e﹣x≤0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞）．

②若1﹣b＞1，即b＜0時(shí)，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1＜x＜1﹣b，

此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1，1﹣b），

由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1，或x＞1﹣b，

此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1），（1﹣b，+∞），

③若1﹣b＜1，即b＞0時(shí)，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1﹣b＜x＜1，

此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1﹣b，1），

由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1﹣b，或x＞1，

此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）

（3）解：若f（1）=1，則f（1）=（2a+b+1）e﹣1=1，

即2a+b+1=e，則b=e﹣1﹣2a，

若方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，

即方程f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x=1在（0，1）內(nèi)有解，

即2ax2+bx+1=ex在（0，1）內(nèi)有解，

即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，

設(shè)g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，

則g（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，

設(shè)x0是g（x）在（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，

則g（0）=0，g（1）=0，知函數(shù)g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，

設(shè)h（x）=g′（x），

則h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零點(diǎn)，

即h（x）在（0，1）上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，

g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a，

當(dāng)a≤ 時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，

當(dāng)a≥ 時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，

當(dāng) ＜a＜ 時(shí)，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），

則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．

若h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，

h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e， ＜a＜ ，

設(shè)φ（x）= x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），

則φ′（x）= ﹣lnx，

令φ′（x）= ﹣lnx=0，得x= ，

當(dāng)1＜x＜ 時(shí)，φ′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)φ（x）遞增，

當(dāng) ＜x＜e時(shí)，φ′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)φ（x）遞減，

則φ（x）max=φ（ ）= +1﹣e＜0，

則h（ln（4a））＜0恒成立，

由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，

得 ＜a＜ ，

當(dāng) ＜a＜ 時(shí)，設(shè)h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，則g（x）在（0，x1）遞增，

在（x1，x2）上遞減，在（x2，1）遞增，

則g（x1）＞g（0）=0，

g（x2）＜g（1）=0，

則g（x）在（x1，x2）內(nèi)有零點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ， ）

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域即可；（2）由a的值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．