Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），l： （t為參數(shù)）
（1）求曲線(xiàn)C的普通方程，l的直角坐標(biāo)方程
（2）設(shè)l與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P（﹣2，0），若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線(xiàn)C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），∴ρ2sin2θ=2aρcosθ，（a＞0），

∴曲線(xiàn)C的普通方程為y2=2ax，（a＞0）；

∵l的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)），

∴消去參數(shù)得l的直角坐標(biāo)方程為：x﹣y+2=0

（2）解：將l的參數(shù)方程： （t為參數(shù)）代入y2=2ax，（a＞0），

得： ，

△=8a2﹣32a＞0，解得a＞4，

，t1t2=8a，

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，

∴|t1﹣t2|2=|t1t2|，∴（2 ）2﹣4×8a=8a，

解得a=5

【解析】（1）曲線(xiàn)C轉(zhuǎn)化為ρ2sin2θ=2aρcosθ，（a＞0），由此能求出曲線(xiàn)C的普通方程；l的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出l的直角坐標(biāo)方程．（2）將l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的普通方程，得： ，由根的差別式得a＞4，由韋達(dá)定理得 ，t1t2=8a，由此利用|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，能求出a．