【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， ， ，點(diǎn)， 分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)連接， ,由中位線的性質(zhì)可得： ，利用線面平行的判斷定理即可證得平面.

(Ⅱ)結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則， ， ，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，求解方程可得，利用線面角的向量求法可得.

試題解析：

（Ⅰ）連接， ,則且為的中點(diǎn)，

又 為的中點(diǎn)， ，

又平面， 平面，故平面.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>是直三棱柱，所以平面，得.因?yàn)?/span>， ，

，故.以為原點(diǎn)，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則， ， ，

， ， .

取平面的一個(gè)法向量為，

由得：令，得，

同理可得平面的一個(gè)法向量為，

二面角的大小為， ，

解得，得，又，

設(shè)直線與平面所成角為，則 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證： 面；

(2)求直線與平面所成角的余弦值.

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溫度x/C

21

23

24

27

29

32

產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)

6

11

20

27

57

77

經(jīng)計(jì)算得： ， ， ， ，

，線性回歸模型的殘差平方和，e8.0605≈3167，其中xi, yi分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.

(Ⅰ)若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程=x+（精確到0.1）；

(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為=0.06e0.2303x，且相關(guān)指數(shù)R2=0.9522.

( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比，用R2說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.

( ii )用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35C時(shí)該種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為

=；相關(guān)指數(shù)R2=．

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【題目】在某城市街道上一側(cè)路邊邊緣某處安裝路燈，路寬為米，燈桿長(zhǎng)4米，且與燈柱成角，路燈采用可旋轉(zhuǎn)燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線與燈的邊緣光線(如圖， )都成角，當(dāng)燈罩軸線與燈桿垂直時(shí)，燈罩軸線正好通過(guò)的中點(diǎn)．

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（Ⅱ）若，求的取值范圍．

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