Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.

（ⅰ）求證：點(diǎn)M在定直線上;

（ⅱ）直線與y軸交于點(diǎn)G，記△的面積為，△的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（Ⅱ）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

（Ⅰ）由題意知，可得：.

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，所以，

所以橢圓C的方程為.

（Ⅱ）（Ⅰ）設(shè)，由可得，

所以直線的斜率為，

因此直線的方程為，即.

設(shè)，聯(lián)立方程

得，

由，得且，

因此,

將其代入得，

因?yàn)?/span>，所以直線方程為.

聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

即點(diǎn)在定直線上.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線方程為，

令得，所以，

又，

所以，

，

所以，

令，則，

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.