【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax﹣cosx，a≠0．

（1）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若x∈[0，2π]，求：當(dāng)a≥時(shí)，函數(shù)f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)．

【答案】（1）或（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)恒成立，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，恒成立；（2）根據(jù)（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，根據(jù)單調(diào)性可判斷，是極大值，是極小值，因?yàn)?/span>，，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需滿(mǎn)足，即可求得的取值范圍.

（1）解：由，可得,.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，為上的單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為上的單調(diào)減函數(shù).

綜上，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則或.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）可知為上的單調(diào)增函數(shù).

又，

所以函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意.

當(dāng)時(shí)，

令，則.由于，所以，

從而必有，，使，且.

不妨設(shè)，且有，，

所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).

從而函數(shù)的極大值為，極小值為.

因?yàn)?/span>，所以，從而極大值.

又，

要使函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則極小值，

所以，即.

又，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】假設(shè)某種設(shè)備使用的年限（年）與所支出的維修費(fèi)用（萬(wàn)元）有以下統(tǒng)計(jì)資料：

使用年限

2

3

4

5

6

維修費(fèi)用

2

4

5

6

7

若由資料知對(duì)呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.試求：

（1）求；

（2）線(xiàn)性回歸方程；

（3）估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

附：利用“最小二乘法”計(jì)算的值時(shí)，可根據(jù)以下公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（1）求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；

（2）直線(xiàn)過(guò)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，且與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，求的長(zhǎng)度.

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【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中點(diǎn)．

（1）若P為AB的中點(diǎn)，證明：DE∥平面PBA1．

（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求四棱錐A1﹣PBCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽數(shù)之間的關(guān)系，現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了明天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下表格：

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日

溫差x/℃

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y/顆

23

25

30

26

16

從這5天中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為，求事件“君不小于25”的概率；

（2）從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)這5填中的另三天的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，.

（參考公式：，）.

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【題目】已知圓，圓．

（1）過(guò)的直線(xiàn)截圓所得的弦長(zhǎng)為，求該直線(xiàn)的斜率；

（2）動(dòng)圓同時(shí)平分圓與圓的周長(zhǎng)．

①求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

②問(wèn)動(dòng)圓是否過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，則求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，則說(shuō)明理由．

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【題目】將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線(xiàn)C.

（1）寫(xiě)出C的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與C的交點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題中錯(cuò)誤的是

A. 若命題p為真命題,命題q為假命題,則命題“pV(q)”為真命題

B. 命題“若a+b≠7,則a≠2或b≠5”為真命題

C. 命題“若x2-x=0,則x=0或x=1”的否命題為“若x2-x=0,則x≠0且x≠1”

D. 命題p: x>0,sinx>2x-1,則p為x>0,sinx≤2x-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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出場(chǎng)順序

1號(hào)

2號(hào)

3號(hào)

4號(hào)

5號(hào)

獲勝概率

若甲隊(duì)橫掃對(duì)手獲勝（即3∶0獲勝）的概率是，比賽至少打滿(mǎn)4場(chǎng)的概率為.

（1）求，的值；

（2）求甲隊(duì)獲勝場(chǎng)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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