【題目】已知數(shù)列是等比數(shù)列, 為數(shù)列的前項(xiàng)和,且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)且為遞增數(shù)列.若求證:
【答案】(1)當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析;
【解析】試題分析:(1)設(shè)數(shù)列的公式為 ,從而可得 ,求出 的值,從而可得結(jié)果;(2)討論可知 ,考慮為遞增數(shù)列,從而可得 ,利用裂項(xiàng)相消法求和,再用放縮法證明即可.
試題解析:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為.由已知:
,解得或
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
(2) 為遞增數(shù)列, 不合題意
當(dāng)時(shí), 符合題意.
【方法點(diǎn)晴】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧:①;②
;③;
④;此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為及時(shí)了解適齡公務(wù)員對(duì)開(kāi)放生育二胎政策的態(tài)度,某部門(mén)隨機(jī)調(diào)查了90位30歲到40歲的公務(wù)員,得到情況如下表:
(1)判斷是否有99%以上的把握認(rèn)為“生二胎意愿與性別有關(guān)”,并說(shuō)明理由;
(2)現(xiàn)把以上頻率當(dāng)作概率,若從社會(huì)上隨機(jī)獨(dú)立抽取三位30歲到40歲的男公務(wù)員訪問(wèn),求這三人中至少有一人有意愿生二胎的概率.
(3)已知15位有意愿生二胎的女性公務(wù)員中有兩位來(lái)自省婦聯(lián),該部門(mén)打算從這15位有意愿生二胎的女性公務(wù)員中隨機(jī)邀請(qǐng)兩位來(lái)參加座談,設(shè)邀請(qǐng)的2人中來(lái)自省女聯(lián)的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
男性公務(wù)員 | 女性公務(wù)員 | 總計(jì) | |
有意愿生二胎 | 30 | 15 | 45 |
無(wú)意愿生二胎 | 20 | 25 | 45 |
總計(jì) | 50 | 40 | 90 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的上網(wǎng)情況,在全校采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生(其中男女生人數(shù)恰好各占一半)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),按男女分為兩組,再將每組學(xué)生的月上網(wǎng)次數(shù)分為5組:,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)寫(xiě)出的值;
(Ⅱ)在抽取的40名學(xué)生中,從月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人 ,并用表示其中男生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓的左頂點(diǎn),經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求與的面積之差的絕對(duì)值的最大值.(為坐標(biāo)原點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的偶函數(shù)滿足,且在上是減函數(shù),若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則下列各式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的上網(wǎng)情況,在全校采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生(其中男女生人數(shù)恰好各占一半)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),按男女分為兩組,再將每組學(xué)生的月上網(wǎng)次數(shù)分為5組:,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)寫(xiě)出的值;
(2)求抽取的40名學(xué)生中月上網(wǎng)次數(shù)不少于15次的學(xué)生人數(shù);
(Ⅲ)在抽取的40名學(xué)生中,從月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人 ,求至少抽到1名女生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高二奧賽班名學(xué)生的物理測(cè)評(píng)成績(jī)(滿分120分)分布直方圖如下,已知分?jǐn)?shù)在100-110的學(xué)生數(shù)有21人.
(1)求總?cè)藬?shù)和分?jǐn)?shù)在110-115分的人數(shù);
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備從分?jǐn)?shù)在110-115的名學(xué)生(女生占)中任選3人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(3)為了分析某個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對(duì)其下一階段的學(xué)生提供指導(dǎo)性建議,對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分150分),物理成績(jī)進(jìn)行分析,下面是該生7次考試的成績(jī).
數(shù)學(xué) | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知該生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)是線性相關(guān)的,若該生的數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到130分,請(qǐng)你估計(jì)他的物理成績(jī)大約是多少?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),……,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 底面,底面是直角梯形, .
(1)在上確定一點(diǎn),使得平面,并求的值;
(2)在(1)條件下,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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