Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，側(cè)面SCD為鈍角三角形且垂直于底面ABCD，，點(diǎn)M是SA的中點(diǎn)，，，.

（1）求證：平面SCD；

（2）若直線SD與底面ABCD所成的角為，求平面MBD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，設(shè)，，由已知可得，則，又平面底面，由面面垂直的性質(zhì)可得平面；

（2）過點(diǎn)作的垂線，交延長線于點(diǎn)，連接，可得，則底面，故為斜線在底面內(nèi)的射影，求解三角形可得，從而，過點(diǎn)作，則底面，可得、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

解：（1）證明：取BC的中點(diǎn)E，連接DE，

設(shè)，，

依題意，四邊形ABED為正方形，

且有,

，則.

又平面底面ABCD，平面底面，

平面SCD；

（2）解：過點(diǎn)S作CD的垂線，交CD延長線于點(diǎn)H，連接AH，

平面底面ABCD，

平面底面，

平面SCD，底面ABCD，

故DH為斜線SD在底面ABCD內(nèi)的射影，

為斜線SD與底面ABCD所成的角，即.

由（1）得，，在中，，，

在中，，

由余弦定理得，

，從而，

過點(diǎn)D作，底面ABCD，

DB、DC、DF兩兩垂直，

如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，

設(shè)平面MBD的法向量，

由，

取，得；

設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為，

由，

取，得.

.

平面MBD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值為.